3500 kg ভরের কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে 1800 km উচ্চতায় 7.1 ms^-1 বেগে ঘুরছে। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $6.4\times {10}^{24}m$ , পৃথিবীর ভর $6\times {10}^{24}kg$ এবং $G = 6.67 x {10}^{-11 }N{m}^{2}k{g}^{-2} ।$ 

পৃথিবীর অভ্যন্তরে কোনো নির্দিষ্ট স্থানের অভিকর্ষজ ত্বরণ (g') সেই স্থানটির পৃথিবীর কেন্দ্র হতে দূরত্বের (r) সমানুপাতিক। এর অর্থ হলো, পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব যত কমতে থাকে, অভিকর্ষজ ত্বরণের মানও তত কমতে থাকে এবং ঠিক কেন্দ্রে (যেখানে r = 0) অভিকর্ষজ ত্বরণের মান শূন্য হয়।

পৃথিবীর অভ্যন্তরে r দূরত্বে (যেখানে r < R, R পৃথিবীর ব্যাসার্ধ) অবস্থিত কোনো বস্তুর উপর কেবলমাত্র সেই r ব্যাসার্ধের গোলকের মধ্যকার পৃথিবীর ভরই অভিকর্ষ বল প্রয়োগ করে। যদি পৃথিবীর ঘনত্বকে (\(\rho\)) সুষম ধরা হয়, তাহলে r ব্যাসার্ধের গোলকের ভর \(M' = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho\) হবে। এই ক্ষেত্রে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g' = \frac{GM'}{r^2}\) সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা হয়। এখানে \(g' = \frac{G \times \frac{4}{3} \pi r^3 \rho}{r^2} = G \frac{4}{3} \pi \rho r\)। যেহেতু মহাকর্ষীয় ধ্রুবক (G), \(\frac{4}{3}\), \(\pi\) এবং পৃথিবীর ঘনত্ব (\(\rho\)) ধ্রুবক, তাই \(g' \propto r\) হয়।

মহাকর্ষীয় প্রাবল্য (Gravitational field intensity) হলো মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে একক ভরের কোনো বস্তু স্থাপন করলে সেটি যে বল অনুভব করে তার পরিমাণ। এর রাশিমালা হলো \(E = \frac{GM}{r^2}\), যেখানে \(G\) হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) হলো পৃথিবীর ভর এবং \(r\) হলো পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্বের বর্গ। উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্যগুলো হলো: পৃথিবীর ভর \(M = 6 \times 10^{24} \text{ kg}\), পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6.4 \times 10^{24} \text{ m}\), পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে উপগ্রহের উচ্চতা \(h = 1800 \text{ km} = 1800 \times 10^3 \text{ m} = 1.8 \times 10^6 \text{ m}\) এবং মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2\text{kg}^{-2}\)।

এখন, পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে উপগ্রহের মোট দূরত্ব \(r = R + h\) হবে।

\(r = 6.4 \times 10^{24} \text{ m} + 1.8 \times 10^6 \text{ m}\)

যেহেতু \(6.4 \times 10^{24}\) এর তুলনায় \(1.8 \times 10^6\) অত্যন্ত নগণ্য, তাই কার্যকর দূরত্ব \(r \approx 6.4 \times 10^{24} \text{ m}\) ধরা যেতে পারে।

প্রদত্ত উচ্চতায় মহাকর্ষীয় প্রাবল্য, \([E = \frac{GM}{r^2}]\)

\[E = \frac{(6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2\text{kg}^{-2}) \times (6 \times 10^{24} \text{ kg})}{(6.4 \times 10^{24} \text{ m})^2}\]

\[E = \frac{40.02 \times 10^{13}}{40.96 \times 10^{48}}\]

\[E \approx 0.97705 \times 10^{-35}\]

\[E \approx 9.77 \times 10^{-36} \text{ N/kg}\]

সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত উচ্চতায় মহাকর্ষীয় প্রাবল্যের মান \(9.77 \times 10^{-36} \text{ N/kg}\) অথবা \(9.77 \times 10^{-36} \text{ m/s}^2\)। এই মানটি নির্দেশ করে যে, প্রদত্ত উচ্চতায় মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল অত্যন্ত নগণ্য, যা মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের প্রভাব প্রায় শূন্যের কাছাকাছি। এটি পৃথিবীর ব্যাসার্ধের একটি অস্বাভাবিক উচ্চ মান (\(6.4 \times 10^{24} \text{ m}\)) ব্যবহারের কারণে হয়েছে, যা বাস্তব পৃথিবীর ব্যাসার্ধ থেকে অনেক বেশি।

ভূমিকা: কৃত্রিম উপগ্রহটি ভূ-পৃষ্ঠে ফিরে আসবে কি না, তা নির্ণয় করতে হলে এর বর্তমান গতিবেগ (v) কে ওই উচ্চতায় কক্ষপথ বজায় রাখার জন্য প্রয়োজনীয় বেগ (v_o) এবং পৃথিবী থেকে মুক্ত হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় মুক্তিবেগ (v_e) এর সাথে গাণিতিকভাবে তুলনা করতে হবে। যদি বর্তমান বেগ প্রয়োজনীয় কক্ষপথের বেগের চেয়ে কম হয়, তবে এটি ভূ-পৃষ্ঠে ফিরে আসবে। যদি এটি মুক্তিবেগের সমান বা বেশি হয়, তবে এটি পৃথিবী ছেড়ে মহাশূন্যে চলে যাবে।

প্রদত্ত তথ্যের বিশ্লেষণ ও গণনা: উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যানুসারে,

    
• কৃত্রিম উপগ্রহের ভর, m_s = 3500 kg
    
• ভূ-পৃষ্ঠ হতে উচ্চতা, h = 1800 km = \(1800 \times 1000\) m = \(1.8 \times 10^6\) m
    
• কৃত্রিম উপগ্রহের বেগ, v = 7.1 m/s
    
• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R = $6.4\times {10}^{24}m$ (উদ্দীপকে প্রদত্ত মান অনুযায়ী)
    
• পৃথিবীর ভর, M = $6\times {10}^{24}kg$
    
• মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, G = $6.67\times {10}^{-11}N{m}^{2}k{g}^{-2}$

    ভূ-পৃষ্ঠ থেকে \(h\) উচ্চতায় উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ হবে,
    \(r = R + h\)
    \(r = 6.4 \times 10^{24} \text{ m} + 1.8 \times 10^6 \text{ m}\)
    যেহেতু \(1.8 \times 10^6 \text{ m}\) এর মান \(6.4 \times 10^{24} \text{ m}\) এর তুলনায় অতি নগণ্য, তাই কক্ষপথের ব্যাসার্ধ \(r \approx 6.4 \times 10^{24} \text{ m}\) ধরা যেতে পারে।

    এই উচ্চতায় কৃত্রিম উপগ্রহের কক্ষপথ বজায় রাখার জন্য প্রয়োজনীয় বেগ,
    \(v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)
    \(v_o = \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) \times (6 \times 10^{24} \text{ kg})}{(6.4 \times 10^{24} \text{ m})}}\)
    \(v_o = \sqrt{\frac{40.02 \times 10^{13}}{6.4 \times 10^{24}}}\)
    \(v_o = \sqrt{6.253125 \times 10^{-11}}\)
    \(v_o \approx 7.907 \times 10^{-6} \text{ m/s}\)

    একই উচ্চতায় মুক্তিবেগ,
    \(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\)
    \(v_e = \sqrt{2 \times 6.253125 \times 10^{-11}}\)
    \(v_e = \sqrt{1.250625 \times 10^{-10}}\)
    \(v_e \approx 1.118 \times 10^{-5} \text{ m/s}\)

সিদ্ধান্ত: উদ্দীপকে প্রদত্ত উপাত্ত অনুযায়ী, কৃত্রিম উপগ্রহটির বর্তমান বেগ \(v = 7.1 \text{ m/s}\)। এই উচ্চতায় কক্ষপথ বজায় রাখার জন্য প্রয়োজনীয় বেগ \(v_o \approx 7.907 \times 10^{-6} \text{ m/s}\) এবং মুক্তিবেগ \(v_e \approx 1.118 \times 10^{-5} \text{ m/s}\)।
দেখা যাচ্ছে যে, উপগ্রহটির বর্তমান বেগ (\(7.1 \text{ m/s}\)) প্রয়োজনীয় কক্ষপথের বেগ এবং মুক্তিবেগ উভয়ের চেয়ে অনেক বেশি (অর্থাৎ \(v \gg v_e\))। যেহেতু উপগ্রহটির গতিবেগ মুক্তিবেগের চেয়ে অনেক বেশি, এটি পৃথিবীর আকর্ষণ কাটিয়ে মহাশূন্যে চলে যাবে এবং ভূ-পৃষ্ঠে ফিরে আসবে না।