$\sqrt[3]{3\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}=2$ হলে $x-\frac{1}{x}$ এর মান কত?

দেওয়া আছে,

\(3^x - (\sqrt{3})^{x+4} + 20 = 0\)

বা, \(3^x - (3^{\frac{1}{2}})^{x+4} + 20 = 0\)

বা, \(3^x - 3^{\frac{1}{2}(x+4)} + 20 = 0\)

বা, \(3^x - 3^{\frac{x}{2} + 2} + 20 = 0\)

বা, \(3^x - 3^{\frac{x}{2}} \cdot 3^2 + 20 = 0\)

বা, \(3^x - 9 \cdot 3^{\frac{x}{2}} + 20 = 0\)

ধরি, \(3^{\frac{x}{2}} = a\)

তাহলে, \(3^x = (3^{\frac{x}{2}})^2 = a^2\)

সমীকরণটিতে \(a\) এর মান বসিয়ে পাই,

\(a^2 - 9a + 20 = 0\)

বা, \(a^2 - 4a - 5a + 20 = 0\)

বা, \(a(a - 4) - 5(a - 4) = 0\)

বা, \((a - 4)(a - 5) = 0\)

হয় \(a - 4 = 0\) অথবা \(a - 5 = 0\)

যদি \(a - 4 = 0\) হয়,

\(a = 4\)

\(3^{\frac{x}{2}} = 4\)

উভয়পাশে \(\log_3\) নিয়ে পাই,

\(\log_3 (3^{\frac{x}{2}}) = \log_3 (4)\)

\(\frac{x}{2} = \log_3 (4)\)

\(x = 2 \log_3 (4)\)

\(x = \log_3 (4^2)\)

\(x = \log_3 (16)\)

যদি \(a - 5 = 0\) হয়,

\(a = 5\)

\(3^{\frac{x}{2}} = 5\)

উভয়পাশে \(\log_3\) নিয়ে পাই,

\(\log_3 (3^{\frac{x}{2}}) = \log_3 (5)\)

\(\frac{x}{2} = \log_3 (5)\)

\(x = 2 \log_3 (5)\)

\(x = \log_3 (5^2)\)

\(x = \log_3 (25)\)

সুতরাং, \(x = \log_3 (16)\) অথবা \(x = \log_3 (25)\)