$A = x^p: B = x^q ; C = x^r$ এবং $M = 2^{2x+1}$ কয়েকটি রাশি।

দেওয়া আছে, $M=2^{2x+1}$

M = 512 হলে ,  $2^{2x+1}=512$

বা,  $2^{2x+1}=2^9$

বা, 2x + 1 = 9

বা, 2x = 9 - 1 = 8

বা, $x=\frac{8}{2}= 4$

নির্ণেয় মান : 4

দেওয়া আছে, $A = x^p, B = x^q , C = x^r$

প্রদত্ত রাশি ${\left(\frac{A}{B}\right)}^{r^2+rq+q^2}\times {\left(\frac{B}{C}\right)}^{q^2+qr+r^2}\times {\left(\frac{C}{A}\right)}^{r^2+rp+p^2}$

= ${\left(\frac{x^p}{x^q}\right)}^{r^2+rq+q^2}\times {\left(\frac{x^q}{x^r}\right)}^{q^2+qr+r^2}\times {\left(\frac{x^r}{x^p}\right)}^{r^2+rp+p^2}$

= ${\left(x^{p-q}\right)}^{r^2+rq+q^2}\times {\left(x^{q-r}\right)}^{q^2+qr+r^2}\times {\left(x^{r-p}\right)}^{r^2+rp+p^2}$

= ${x^{p^3-q}}^3 \times x^{q^3-r^3} \times {x^{r^3-p}}^3$

= $x^{p^3-q^3+q^3-r^3+r^3-p^3}$

= x⁰ = 1

নির্ণেয় মান : 1.

দেওয়া আছে, $A = x^p, B = x^q$ এবং $C = x^r$

বামপক্ষ = log_x (ABC)

= log_x $\left(x^p.x^q.x^r\right)$

$={\log }_x{x}^{p+q+r}$

= $(p+q+r) {\log }_{x }x$

= (p+q+r).1

= p+q+r

ডানপক্ষ $= {\log }_x A +{\log }_x B +{\log }_x C$

$= {\log }_x x^p +{\log }_x x^q +{\log }_x x^r$

$= p {\log }_x x+q {\log }_x x + r {\log }_x x$

$= p\times 1+q\times 1 + r\times 1$

= p + q + r

log_x (ABC) = log_x A + log_x B + log_x C. (প্রমাণিত)