$A= \frac{\cos \theta - \sin \theta + 1}{ \cos \theta + \sin \theta -1}$এবং $B = cot \theta + cosec \theta$

দেওয়া আছে, $\cos \theta = - \frac{4}{5}$

ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করে,

আমরা জানি,

$si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$

বা, $si{n}^2\theta =1-co{s}^2 \theta$

$=1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{25-16}{25}=\frac{9}{25}$

$\therefore$ $\sin \theta = \pm \frac{9}{25}= \pm \frac{3}{5}$

যেহেতু $\mathrm{\pi }<\alpha <\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ অর্থাৎ $\theta$ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং tan ও cot ব্যতীত সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ঋণাত্মক।

$\therefore$ $\sin \theta =-\frac{3}{5}$

আবার,

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }= \frac{-{\displaystyle \frac{3}{5}}}{- {\displaystyle \frac{4}{5}}}= \frac{3}{5}\times \frac{5}{4}= \frac{3}{4}$

$\therefore$ $\tan \theta = \frac{3}{4}$ এবং $\sin \theta =-\frac{3}{5}$

দেওয়া আছে, $\sin A= \frac{2}{\sqrt{5}}$

আমরা জানি, $si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1$

বা, $co{s}^{2}A=1-si{n}^{2}A=1- {\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2=1-\frac{4}{5}=\frac{5-4}{5}=\frac{1}{5}$

$\therefore$ $\cos A =\pm \sqrt{\frac{1}{5}}= \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

যেহেতু $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<A<\mathrm{\pi }$ অর্থাৎ A দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে এবং sin ও cosec ব্যতীত সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ঋণাত্মক।

$\therefore$ $\cos A =-\frac{1}{\sqrt{5}}$

আবার,

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}= \frac{{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}}{-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}}= - \frac{2}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{1} = - 2$

$\therefore$ $\cos A=- \frac{1}{5}$ এবং  tan A = - 2 .

দেওয়া আছে,

$\cos A=\frac{1}{2}$

ত্রিকোণমিতিক অভেদের সাহায্যে

আমরা জানি, $si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1$

বা, ${\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{4-1}{4} =\frac{3}{4}$

$\therefore$ $\sin A= \pm \sqrt{\frac{3}{4}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

sin A ও cos A একই চিহ্ন বিশিষ্ট ফলে $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ [$\because$cos A ধনাত্মক]

আবার আমরা জানি, $\tan A= \frac{\sin A}{\cos A} =\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1}= \sqrt{3}$

$\therefore$ $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}, \tan A =\sqrt{3}$

দেওয়া আছে, $\tan A =-\frac{5}{12}$

ত্রিকোণমিতিক অভেদ অনুযায়ী,

আমরা জানি, $se{c}^{2}A-ta{n}^{2}A=1$

বা, $se{c}^{2}A=1+ta{n}^{2}A=1+{\left(-\frac{5}{12}\right)}^2=1+\frac{25}{144}=\frac{144+25}{144}=\frac{169}{144}$

$\therefore$ $sec A=\pm \sqrt{\frac{169}{144}}=\pm \frac{13}{12}$

$\therefore$ $cos A=\frac{1}{socA}=\frac{1}{\pm {\displaystyle \frac{13}{12}}}=\pm \frac{13}{12}$

কিন্তু tan A ও cos A বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হওয়ায় cos A ধনাত্মক

$\therefore$ $\cos A=\frac{12}{13}$

আবার, আমরা জানি, $si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1$

বা, $si{n}^{2}A=1-co{s}^{2}A=1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2=1-\frac{144}{169}=\frac{169-144}{169}=\frac{25}{169}$

$\therefore$ $\sin A =\pm \frac{25}{169}= \pm \frac{5}{13}$

কিন্তু tan A ও cos A বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হওয়ায় cos A ও  sin A ও বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হবে ফলে sin A = $-\frac{5}{13}$

$\therefore$ $\sin A =-\frac{5}{13}$ ও $\cos A=\frac{12}{13}$

দেওয়া আছে, $\cos ec A = \frac{a}{b}$

বা, $\cos e{c}^2 A = \frac{a^2}{b^2}$  [বর্গ করে]

বা, $1 + co{t}^2 A = \frac{a^2}{b^2}$ [$\cos e{c}^2\theta = 1 + co{t}^2 \theta$]

বা, $\frac{1}{ta{n}^{2}A}=\frac{a^2}{b^2}-1$

বা, $\frac{1}{ta{n}^{2}A}=\frac{a^2-b^2}{b^2}$

বা, $ta{n}^{2}A =\frac{b^2}{a^2-b^2}$

বা, tan $A=\frac{\pm b}{\sqrt{a^2-b^2}}$ [বর্গমূল করে]

$\therefore$ $\tan A=\frac{\pm b}{\sqrt{a^2-b^2}}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$

বা, $(cos \theta -sin \theta {)}^2= {\left(\sqrt{2 }\sin \theta \right)}^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $co{s}^2\theta -2cos\theta sin \theta +si{n}^2\theta =2si{n}^2\theta$

বা, $co{s}^2\theta -2cos \theta \sin \theta +si{n}^2\theta -2si{n}^2\theta =0$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $co{s}^2\theta -si{n}^2\theta =2cos \theta sin \theta$ [পুনরায় পক্ষান্তর করে]

বা, $(\cos \theta + \sin \theta ) (\cos \theta - \sin \theta ) = 2\cos \theta \sin \theta$

বা, $(\cos \theta +\sin \theta ). \sqrt{2} \sin \theta = 2\cos \theta \sin \theta$

বা, $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ [ উভয়পক্ষকে $\sqrt{2}\sin \theta$ দ্বারা ভাগ করো ]

সুতরাং $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ (দেখানো হলো)