A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে M বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ADBC বৃত্তে AD ব্যাস। BC ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা নিই। ও, C এবং O, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা অর্থাৎ AD > BC.

প্রমাণ: ধাপ ১: OA = OB = OC = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

ধাপ ২: এখন, $△$OCB এ OC + OB > BC  [ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, OA + OD > BC [ধাপ (১) হতে]

$\therefore$ AD > BC [OA + OD = AD] (প্রমাণিত)

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ এবং ∠PSR এর সমদ্বিখণ্ডক SQ । SQ সরলরেখাটি কেন্দ্র O বিন্দুগামী।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠PSR + ∠PQR = 180° ।

প্রমাণ:

ধাপ ১. একই চাপ PQR এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠POR = 2 (বৃত্তস্থ ∠PSR) [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

অর্থাৎ ∠POR = 2∠PSR

ধাপ ২. আবার একই চাপ PSR এর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠POR = 2(বৃত্তস্থ ∠PQR)

অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠POR = 2 ∠PQR

এখন, ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = 2(∠PSR + ∠PQR)

কিন্তু, ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = 4 সমকোণ = 360°

2(∠PSR + ∠PQR) = 360°

বা, ∠PSR + ∠PQR = $\frac{360°}{2}$

অতএব ∠PSR + ∠PQR = 180°. (প্রমাণিত)

মনে করি, a = 4 সে.মি. ও b = 4.5 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র যথাক্রমে A ও B এবং বৃত্তদ্বয় পরস্পর M বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, A, M ও B বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

অঙ্কন : যেহেতু বৃত্তদ্বয় পরস্পর M বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। সেহেতু M বিন্দুতে এদের একটি সাধারণ স্পর্শক থাকবে। এখন, M বিন্দুতে সাধারণ স্পর্শক EMF অক্রন করি। M, A এবং M, B যোগ করি।

প্রমাণ: A কেন্দ্রগামী বৃত্তে MA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং EMF স্পর্শক। সুতরাং ∠AME = এক সমকোণ।

অনুরূপভাবে, ∠EMB = এক সমকোণ।

এখন, ∠AME + ∠EMB এক সমকোণ এক সমকোণ = দুই সমকোণ

বা, ∠AMB = দুই সমকোণ  [∠AME + ∠EMB = ∠MAB]

অর্থাৎ, ∠AMB একটি সরলকোণ।

$\therefore$ A, M B বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)