A and B started a business with initial investments in the respective ratio of 18 : 7. After four months from the start of the business, A invested Tk. 2,000 more and B invested Tk. 7,000 more. At the end of one year, if the profit was distributed among them in the ratio of 2 : 1 respectively. What was the total initial investment with which A and B started the business?

(Partnership)

x + 1/x = 3

⇒ x²+ 1/x = 3

⇒ x² + 1 = 3x

⇒ x² - 3x + 1 = 0

⇒ x² -3 . x . 1 + 1² = 0

⇒ (x-1)² = 0

⇒ x - 1 = 0

x = 1

প্রদত্ত রাশি,

x⁹ + 1/x⁹

= 1⁹ + 1/1⁹

= 1 + 1/1

= 1 + 1/1

= 2/1

= 2 (Answer)

প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:

    \[x+y=1 \quad \text{(1)}\]     \[kx+y=2 \quad \text{(2)}\]     \[x+ky=3 \quad \text{(3)}\]

ধাপ ১: সমীকরণ (1) থেকে y এর মান x এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

    \[y=1-x \quad \text{(4)}\]

ধাপ ২: সমীকরণ (4) থেকে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই।

    \[kx+(1-x)=2\]     \[kx-x=2-1\]     \[x(k-1)=1\]

যদি \(k=1\) হয়, তবে \(x(1-1)=1\) অর্থাৎ \(0=1\), যা অসম্ভব। সুতরাং, \(k \neq 1\)।

    \[x=\frac{1}{k-1} \quad \text{(5)}\]

ধাপ ৩: সমীকরণ (5) থেকে প্রাপ্ত x এর মান সমীকরণ (4) এ বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

    \[y=1-x\]     \[y=1-\frac{1}{k-1}\]     \[y=\frac{(k-1)-1}{k-1}\]     \[y=\frac{k-2}{k-1} \quad \text{(6)}\]

ধাপ ৪: সমীকরণ (5) এবং (6) থেকে প্রাপ্ত x ও y এর মান সমীকরণ (3) এ বসাই।

    \[x+ky=3\]     \[\frac{1}{k-1}+k\left(\frac{k-2}{k-1}\right)=3\]

উভয় পক্ষকে \((k-1)\) দ্বারা গুণ করে পাই (যেহেতু \(k \neq 1\)):

    \[1+k(k-2)=3(k-1)\]     \[1+k^2-2k=3k-3\]

ধাপ ৫: সমীকরণটিকে সমাধান করে k এর মান নির্ণয় করি।

    \[k^2-2k-3k+1+3=0\]     \[k^2-5k+4=0\]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করি।

    \[k^2-4k-k+4=0\]     \[k(k-4)-1(k-4)=0\]     \[(k-1)(k-4)=0\]

সুতরাং, \(k-1=0\) অথবা \(k-4=0\)

    \[k=1 \quad \text{অথবা} \quad k=4\]

ধাপ ৬: প্রাপ্ত k এর মানগুলো যাচাই করি।

আমরা আগেই দেখেছি যে, যদি \(k=1\) হয়, তবে \(0=1\) হয় যা অসম্ভব। অর্থাৎ, \(k=1\) হলে প্রদত্ত সমীকরণগুলোর কোনো সমাধান থাকে না।

সুতরাং, \(k=1\) গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, k এর একমাত্র গ্রহণযোগ্য মান হলো \(k=4\)।

দেওয়া আছে,

\(a = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)

প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয় করতে হবে: \(\frac{a^2+2}{2a}\)

প্রথমে \(a^2\) এর মান নির্ণয় করি:

\(a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2\)

\(a^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2\)

\(a^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3\)

\(a^2 = 8 + 2\sqrt{15}\)

এখন, প্রদত্ত রাশিতে \(a\) এবং \(a^2\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(\frac{a^2+2}{2a} = \frac{(8 + 2\sqrt{15}) + 2}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{10 + 2\sqrt{15}}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{2(5 + \sqrt{15})}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{5 + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\)

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\(= \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{15}\sqrt{5} - \sqrt{15}\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{45}}{5 - 3}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{25 \times 3} - \sqrt{9 \times 5}}{2}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5}}{2}\)

\(= \frac{2\sqrt{5}}{2}\)

\(= \sqrt{5}\)

সুতরাং, \(\frac{a^2+2}{2a}\) এর মান \(\sqrt{5}\)।

দেওয়া আছে,

\(P = \sin\theta\)

\(Q = \cos\theta\)

এবং \(PQ = \frac{1}{2}\)

আমরা জানি,

\((P+Q)^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\)

এখানে, \(P^2 + Q^2 = (\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta\)

আমরা ত্রিকোণমিতিক অভেদ থেকে জানি, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)

সুতরাং, \(P^2 + Q^2 = 1\)

এখন, \((P+Q)^2\) এর সূত্রে মান বসিয়ে পাই,

\((P+Q)^2 = 1 + 2 \times \frac{1}{2}\)

\((P+Q)^2 = 1 + 1\)

\((P+Q)^2 = 2\)

উভয়পাশে বর্গমূল করে পাই,

\(P+Q = \pm\sqrt{2}\)

অতএব, \(P+Q\) এর মান হলো \(\pm\sqrt{2}\)

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

এটি একটি দ্বিঘাত সমমাত্রিক রাশি (homogeneous quadratic expression)। এই ধরনের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য মধ্যপদকে (middle term) এমন দুটি পদে বিভক্ত করতে হয় যাদের গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সমান এবং যোগফল মধ্যপদের সহগের সমান।

১. এখানে,

    
• প্রথম পদের সহগ (coefficient) হলো \((a-1)\)।
    
• শেষ পদের সহগ হলো \((a+1)\)।
    
• মধ্যপদের সহগ হলো \(a^2\)।

২. প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফল নির্ণয় করি:

৩. এখন, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল \((a^2 - 1)\) এবং যোগফল \(a^2\)।

এই সংখ্যা দুটি হলো \((a^2 - 1)\) এবং \(1\)।

কারণ, \((a^2 - 1) \times 1 = a^2 - 1\) এবং \((a^2 - 1) + 1 = a^2\)।

৪. মধ্যপদ \(a^2xy\) কে \((a^2-1)xy + xy\) আকারে বিভক্ত করা যাক:

৫. এখন, পদগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় ভাগ করে সাধারণ উৎপাদক (common factor) নেওয়া যাক:

প্রথম দুটি পদ থেকে \(x\) কমন নেওয়া যায়:

শেষ দুটি পদ থেকে \(y\) কমন নেওয়া যায়:

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

৬. আমরা জানি, \((a^2-1)\) কে \((a-1)(a+1)\) আকারে লেখা যায়। এই মানটি প্রতিস্থাপন করি:

৭. প্রথম বন্ধনীর ভেতর থেকে \((a-1)\) কমন নেওয়া যাক:

৮. এখন, \(\{x + (a+1)y\}\) উভয় পদে একটি সাধারণ উৎপাদক। এই সাধারণ উৎপাদকটি কমন নেওয়া যাক:

৯. সুতরাং, প্রদত্ত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণকৃত রূপটি হলো:

দেওয়া আছে:

\[18y^x - y^{2x} = 81 \quad \ldots(1)\]

\[3^x = y^2 \quad \ldots(2)\]

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই,

ধরি, \(A = y^x\)।

তাহলে, \(18A - A^2 = 81\)

\(A^2 - 18A + 81 = 0\)

\((A - 9)^2 = 0\)

\(A = 9\)

\(A\) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

\[y^x = 9 \quad \ldots(3)\]

এখন, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

\(3^x = y^2\)

সমীকরণ (3) কে \(y\) এর জন্য সমাধান করি:

\(y = 9^{\frac{1}{x}}\)

\(y\) এর এই মানটি সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,

\(3^x = (9^{\frac{1}{x}})^2\)

\(3^x = 9^{\frac{2}{x}}\)

\(3^x = (3^2)^{\frac{2}{x}}\)

\(3^x = 3^{\frac{4}{x}}\)

উভয় পাশের ভিত্তি একই হওয়ায়, ঘাতগুলো সমান হবে:

\(x = \frac{4}{x}\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm 2\)

এখন \(x\) এর দুটি মানের জন্য \(y\) এর মান নির্ণয় করি।

ক্ষেত্রে 1: যখন \(x = 2\)

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

\(y^2 = 9\)

\(y = \pm 3\)

অতএব, সমাধানগুলো হলো \((2, 3)\) এবং \((2, -3)\)

ক্ষেত্রে 2: যখন \(x = -2\)

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

\(y^{-2} = 9\)

\(\frac{1}{y^2} = 9\)

\(y^2 = \frac{1}{9}\)

\(y = \pm \frac{1}{3}\)

অতএব, সমাধানগুলো হলো \((-2, \frac{1}{3})\) এবং \((-2, -\frac{1}{3})\)

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধানসমূহ হলো: \((2, 3), (2, -3), (-2, \frac{1}{3}), (-2, -\frac{1}{3})\)