A foot race had 36 teams of a dozen runners each. By noon, $\frac{4}{9}$ of the teams had finished the race, and 70 percent of the remaining teams finished the race by one o'clock. How many teams had not finished the race by one o'clock?

(Percentage (%))

x + 1/x = 3

⇒ x²+ 1/x = 3

⇒ x² + 1 = 3x

⇒ x² - 3x + 1 = 0

⇒ x² -3 . x . 1 + 1² = 0

⇒ (x-1)² = 0

⇒ x - 1 = 0

x = 1

প্রদত্ত রাশি,

x⁹ + 1/x⁹

= 1⁹ + 1/1⁹

= 1 + 1/1

= 1 + 1/1

= 2/1

= 2 (Answer)

প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:

    \[x+y=1 \quad \text{(1)}\]     \[kx+y=2 \quad \text{(2)}\]     \[x+ky=3 \quad \text{(3)}\]

ধাপ ১: সমীকরণ (1) থেকে y এর মান x এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

    \[y=1-x \quad \text{(4)}\]

ধাপ ২: সমীকরণ (4) থেকে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই।

    \[kx+(1-x)=2\]     \[kx-x=2-1\]     \[x(k-1)=1\]

যদি \(k=1\) হয়, তবে \(x(1-1)=1\) অর্থাৎ \(0=1\), যা অসম্ভব। সুতরাং, \(k \neq 1\)।

    \[x=\frac{1}{k-1} \quad \text{(5)}\]

ধাপ ৩: সমীকরণ (5) থেকে প্রাপ্ত x এর মান সমীকরণ (4) এ বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

    \[y=1-x\]     \[y=1-\frac{1}{k-1}\]     \[y=\frac{(k-1)-1}{k-1}\]     \[y=\frac{k-2}{k-1} \quad \text{(6)}\]

ধাপ ৪: সমীকরণ (5) এবং (6) থেকে প্রাপ্ত x ও y এর মান সমীকরণ (3) এ বসাই।

    \[x+ky=3\]     \[\frac{1}{k-1}+k\left(\frac{k-2}{k-1}\right)=3\]

উভয় পক্ষকে \((k-1)\) দ্বারা গুণ করে পাই (যেহেতু \(k \neq 1\)):

    \[1+k(k-2)=3(k-1)\]     \[1+k^2-2k=3k-3\]

ধাপ ৫: সমীকরণটিকে সমাধান করে k এর মান নির্ণয় করি।

    \[k^2-2k-3k+1+3=0\]     \[k^2-5k+4=0\]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করি।

    \[k^2-4k-k+4=0\]     \[k(k-4)-1(k-4)=0\]     \[(k-1)(k-4)=0\]

সুতরাং, \(k-1=0\) অথবা \(k-4=0\)

    \[k=1 \quad \text{অথবা} \quad k=4\]

ধাপ ৬: প্রাপ্ত k এর মানগুলো যাচাই করি।

আমরা আগেই দেখেছি যে, যদি \(k=1\) হয়, তবে \(0=1\) হয় যা অসম্ভব। অর্থাৎ, \(k=1\) হলে প্রদত্ত সমীকরণগুলোর কোনো সমাধান থাকে না।

সুতরাং, \(k=1\) গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, k এর একমাত্র গ্রহণযোগ্য মান হলো \(k=4\)।

দেওয়া আছে,

\(a = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)

প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয় করতে হবে: \(\frac{a^2+2}{2a}\)

প্রথমে \(a^2\) এর মান নির্ণয় করি:

\(a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2\)

\(a^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2\)

\(a^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3\)

\(a^2 = 8 + 2\sqrt{15}\)

এখন, প্রদত্ত রাশিতে \(a\) এবং \(a^2\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(\frac{a^2+2}{2a} = \frac{(8 + 2\sqrt{15}) + 2}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{10 + 2\sqrt{15}}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{2(5 + \sqrt{15})}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)

\(= \frac{5 + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\)

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\(= \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{15}\sqrt{5} - \sqrt{15}\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{45}}{5 - 3}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{25 \times 3} - \sqrt{9 \times 5}}{2}\)

\(= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5}}{2}\)

\(= \frac{2\sqrt{5}}{2}\)

\(= \sqrt{5}\)

সুতরাং, \(\frac{a^2+2}{2a}\) এর মান \(\sqrt{5}\)।

দেওয়া আছে,

\(P = \sin\theta\)

\(Q = \cos\theta\)

এবং \(PQ = \frac{1}{2}\)

আমরা জানি,

\((P+Q)^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\)

এখানে, \(P^2 + Q^2 = (\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta\)

আমরা ত্রিকোণমিতিক অভেদ থেকে জানি, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)

সুতরাং, \(P^2 + Q^2 = 1\)

এখন, \((P+Q)^2\) এর সূত্রে মান বসিয়ে পাই,

\((P+Q)^2 = 1 + 2 \times \frac{1}{2}\)

\((P+Q)^2 = 1 + 1\)

\((P+Q)^2 = 2\)

উভয়পাশে বর্গমূল করে পাই,

\(P+Q = \pm\sqrt{2}\)

অতএব, \(P+Q\) এর মান হলো \(\pm\sqrt{2}\)

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

এটি একটি দ্বিঘাত সমমাত্রিক রাশি (homogeneous quadratic expression)। এই ধরনের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য মধ্যপদকে (middle term) এমন দুটি পদে বিভক্ত করতে হয় যাদের গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সমান এবং যোগফল মধ্যপদের সহগের সমান।

১. এখানে,

    
• প্রথম পদের সহগ (coefficient) হলো \((a-1)\)।
    
• শেষ পদের সহগ হলো \((a+1)\)।
    
• মধ্যপদের সহগ হলো \(a^2\)।

২. প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফল নির্ণয় করি:

৩. এখন, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল \((a^2 - 1)\) এবং যোগফল \(a^2\)।

এই সংখ্যা দুটি হলো \((a^2 - 1)\) এবং \(1\)।

কারণ, \((a^2 - 1) \times 1 = a^2 - 1\) এবং \((a^2 - 1) + 1 = a^2\)।

৪. মধ্যপদ \(a^2xy\) কে \((a^2-1)xy + xy\) আকারে বিভক্ত করা যাক:

৫. এখন, পদগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় ভাগ করে সাধারণ উৎপাদক (common factor) নেওয়া যাক:

প্রথম দুটি পদ থেকে \(x\) কমন নেওয়া যায়:

শেষ দুটি পদ থেকে \(y\) কমন নেওয়া যায়:

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

৬. আমরা জানি, \((a^2-1)\) কে \((a-1)(a+1)\) আকারে লেখা যায়। এই মানটি প্রতিস্থাপন করি:

৭. প্রথম বন্ধনীর ভেতর থেকে \((a-1)\) কমন নেওয়া যাক:

৮. এখন, \(\{x + (a+1)y\}\) উভয় পদে একটি সাধারণ উৎপাদক। এই সাধারণ উৎপাদকটি কমন নেওয়া যাক:

৯. সুতরাং, প্রদত্ত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণকৃত রূপটি হলো:

দেওয়া আছে:

\[18y^x - y^{2x} = 81 \quad \ldots(1)\]

\[3^x = y^2 \quad \ldots(2)\]

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই,

ধরি, \(A = y^x\)।

তাহলে, \(18A - A^2 = 81\)

\(A^2 - 18A + 81 = 0\)

\((A - 9)^2 = 0\)

\(A = 9\)

\(A\) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

\[y^x = 9 \quad \ldots(3)\]

এখন, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

\(3^x = y^2\)

সমীকরণ (3) কে \(y\) এর জন্য সমাধান করি:

\(y = 9^{\frac{1}{x}}\)

\(y\) এর এই মানটি সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,

\(3^x = (9^{\frac{1}{x}})^2\)

\(3^x = 9^{\frac{2}{x}}\)

\(3^x = (3^2)^{\frac{2}{x}}\)

\(3^x = 3^{\frac{4}{x}}\)

উভয় পাশের ভিত্তি একই হওয়ায়, ঘাতগুলো সমান হবে:

\(x = \frac{4}{x}\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm 2\)

এখন \(x\) এর দুটি মানের জন্য \(y\) এর মান নির্ণয় করি।

ক্ষেত্রে 1: যখন \(x = 2\)

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

\(y^2 = 9\)

\(y = \pm 3\)

অতএব, সমাধানগুলো হলো \((2, 3)\) এবং \((2, -3)\)

ক্ষেত্রে 2: যখন \(x = -2\)

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

\(y^{-2} = 9\)

\(\frac{1}{y^2} = 9\)

\(y^2 = \frac{1}{9}\)

\(y = \pm \frac{1}{3}\)

অতএব, সমাধানগুলো হলো \((-2, \frac{1}{3})\) এবং \((-2, -\frac{1}{3})\)

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধানসমূহ হলো: \((2, 3), (2, -3), (-2, \frac{1}{3}), (-2, -\frac{1}{3})\)