A motorist and a cyclist start from A to B at the same time. A to B is 18km. The speed of motorist is 15 m/hr, more than the cyclist. After covering half the distance, the motorist rests for 30 minutes and thereafter his speed is reduced by 20%. If the motorist reaches the destination B, 15 min earlier than that of the cyclist, then find the speed of the cyclist. 

(Speed)

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, Mr. Sakil প্রতিদিন একটি নির্দিষ্ট সময়ে অফিসের উদ্দেশ্যে বাসা থেকে বের হন। তিনি যদি ঘণ্টায় 5 কিলোমিটার বেগে হাঁটেন, তবে তাঁর 7 মিনিট দেরি হয়। অন্যদিকে ঘণ্টায় 6 কিলোমিটার বেগে হাঁটলে তিনি 5 মিনিট আগেই অফিসে পৌঁছেন। আপনাকে অফিস থেকে বাসার দূরত্ব বের করতে হবে। 

Let. distance of office from the house be x km.

According to question,

$\frac{x}{5}-\frac{7}{60}=\frac{x}{6}+\frac{5}{60}$ [Minutes is converted by hour]

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{x}{5}-\frac{x}{6}=\frac{5}{60}+\frac{7}{60} \\ \Rightarrow \frac{6x-5x}{30}=\frac{5+7}{60} \\ \Rightarrow \frac{x}{30}=\frac{1}{5} \\ \Rightarrow x=\frac{30}{5} \\ \therefore x=6 km \end{gathered}$$

Let, 1^st day sail=y hours and 2^nd day= 7-y

According to the first condition, y-(7-Y)=3

y=5

So, 1^st day sail = 5 & 2^nd day said = 5-3= 2

Again, speed of 2^nd day and speed of 1^st day = x-5

According to the first condition, 

$$\begin{gathered} 2\times x+5\left(x-5\right)=59 \\ \Rightarrow 7x=59+25=84 \\ \therefore x=\frac{84}{7}=12 \\ {2}^{nd} day speed = 12 kmph \mathit{a}\mathit{n}\mathit{s}\mathbf{.} \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, 108 কিলোমিটার যাওয়ার পরে একজন সাইকেল আরোহী বুঝতে পারলেন যে তিনি যদি 3 km/hr বেশি বেগে যেতেন, তবে তার 3 ঘণ্টা কম সময় লাগতো। সাইকেল আরোহীর গতিবেগ কত ?

$$\begin{gathered} Let, the speed be x km/hr. \\ Since dis\tan ce is 108 km, time=\frac{108}{x} hrs \\ When speed is increased by 3 km/hr, speed is=(x+3) km/hr \\ \therefore The required time=\frac{108}{x+3}hrs \\ According to the question, \\ \frac{108}{x}-\frac{108}{x+3}=3 \\ \Rightarrow \frac{108\left(x+3\right)-108x}{x\left(x+3\right)}=3 \\ \Rightarrow \frac{108x+324-108x}{x^2+3x} \\ \Rightarrow 324=3x^2-9x \\ \Rightarrow 324-3x^2-9x=0 \\ \Rightarrow -3x^2-9x+324=0 \\ \Rightarrow -3\left(x^2+3x-108\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+3x-108=0 \\ \Rightarrow x^2+12x-9x-108=0 \\ \Rightarrow x\left(x+12\right)-9\left(x+12\right) \\ \Rightarrow \left(x+12\right)\left(x-9\right)=0 \\ So either, x-9=0 \\ or, x+12=0 \\ if, x+12=0 \\ then, x=-12 \\ \therefore The speed 9km [Since velocity x\ne -12] \\ He traveled at a speed of 9 km/hr. \mathbf{\left(}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{s}\mathbf{\right)} \end{gathered}$$

Let,

The original speed = x km/h

ATQ, 

108/x - 108/x + 3 = 3

=> 108x + 324 - 108x/x² + 3x = 3

=> 3x² + 9x - 324 = 0

=> 3(x² + 3x - 108) = 0

=> x² + 3x - 108 = 0

=> x² + 12x - 9x - 108 = 0

=> (x + 12)(x - 9) = 0

=> x = 9

Therefore, original speed 9.

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, 108 কিলোমিটার যাওয়ার পরে একজন সাইকেল আরোহী বুঝতে পারলেন যে তিনি যদি 3 km/hr বেশি বেগে যেতেন, তবে তার 3 ঘণ্টা কম সময় লাগতো। সাইকেল আরোহীর গতিবেগ কত ? 

$$\begin{gathered} Let, the speed be x km/hr. \\ Since dis\tan ce is 108 km, time=\frac{108}{x} hrs \\ When speed is increased by 3 km/hr, speed is=(x+3) km/hr \\ \therefore The required time=\frac{108}{x+3}hrs \\ According to the question, \\ \frac{108}{x}-\frac{108}{x+3}=3 \\ \Rightarrow \frac{108\left(x+3\right)-108x}{x\left(x+3\right)}=3 \\ \Rightarrow \frac{108x+324-108x}{x^2+3x} \\ \Rightarrow 324=3x^2-9x \\ \Rightarrow 324-3x^2-9x=0 \\ \Rightarrow -3x^2-9x+324=0 \\ \Rightarrow -3\left(x^2+3x-108\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+3x-108=0 \\ \Rightarrow x^2+12x-9x-108=0 \\ \Rightarrow x\left(x+12\right)-9\left(x+12\right) \\ \Rightarrow \left(x+12\right)\left(x-9\right)=0 \\ So either, x-9=0 \\ or, x+12=0 \\ if, x+12=0 \\ then, x=-12 \\ \therefore The speed 9km [Since velocity x\ne -12] \\ He traveled at a speed of 9 km/hr. \mathbf{\left(}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{s}\mathbf{\right)} \end{gathered}$$