$A\times A$  নির্ণয় কর।

উদ্দীপক অনুসারে, A সেটের উপাদানগুলো হলো স্বাভাবিক সংখ্যা যা মৌলিক এবং 2 থেকে 7 এর মধ্যে অবস্থিত।

অতএব, \(A = \{2, 3, 5, 7\}\) হয়।

এখানে, A সেটের উপাদান সংখ্যা, \(n = n(A) = 4\)।

A সেটের উপসেটগুলো হলো:

\(P(A) = \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \{2,3\}, \{2,5\}, \{2,7\}, \{3,5\}, \{3,7\}, \{5,7\}, \{2,3,5\}, \{2,3,7\}, \{2,5,7\}, \{3,5,7\}, \{2,3,5,7\}\}\)

সুতরাং, \(P(A)\) এর উপাদান সংখ্যা \(n(P(A)) = 16\)।

কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা \(n\) হলে তার শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা \(2^n\) হয়। বর্তমান ক্ষেত্রে, A সেটের উপাদান সংখ্যা \(n=4\) এবং \(P(A)\) এর উপাদান সংখ্যা \(16\)। আমরা দেখতে পাই যে, \(2^n = 2^4 = 16\), যা \(P(A)\) এর উপাদান সংখ্যাকে সমর্থন করে। এটি শক্তি সেটের সংজ্ঞানুসারে সঠিক।

দেওয়া আছে,

\(M = \{x : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \le 6\}\)

\(N = \{2, 4, 6\}\)

সেট \(M\) এর উপাদানগুলো হলো ৬ এর চেয়ে ছোট বা সমান মৌলিক সংখ্যা।

সুতরাং, \(M = \{2, 3, 5\}\)

এখন, সেট \(M\) এবং \(N\) এর ছেদ সেট নির্ণয় করি:

\(M \cap N = \{2, 3, 5\} \cap \{2, 4, 6\}\)

\(M \cap N = \{2\}\)

যেহেতু, \(M \cap N = \{2\}\) যা একটি ফাঁকা সেট নয় (অর্থাৎ, \(M \cap N \ne \emptyset\)), তাই \(M\) ও \(N\) সেটদ্বয় পরস্পর নিশ্ছেদ সেট নয়।

(প্রমাণিত)

আমরা নিচে দেওয়া সেটগুলি ব্যবহার করে দেওয়া সমীকরণটি প্রমাণ করব।

**প্রথমে সেটগুলি নির্ধারণ করি:**

1. \( M = \{ x : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \leq 6 \} \)

  মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৫। তাই,

  \( M = \{ 2, 3, 5 \} \)

2. \( N = \{ 2, 4, 6 \} \)

**এখন \( M \cup N \), \( M \setminus N \), \( N \setminus M \) এবং \( M \cap N \) বের করি:**

- \( M \cup N \): \( M \) এবং \( N \) এর সমষ্টি:

 \[
 M \cup N = \{ 2, 3, 5 \} \cup \{ 2, 4, 6 \} = \{ 2, 3, 4, 5, 6 \}
 \]

- \( M \setminus N \): \( M \) থেকে \( N \) বাদ দেওয়া:

 \[
 M \setminus N = \{ 2, 3, 5 \} \setminus \{ 2, 4, 6 \} = \{ 3, 5 \}
 \]

- \( N \setminus M \): \( N \) থেকে \( M \) বাদ দেওয়া:

 \[
 N \setminus M = \{ 2, 4, 6 \} \setminus \{ 2, 3, 5 \} = \{ 4, 6 \}
 \]

- \( M \cap N \): \( M \) এবং \( N \) এর সমাহার:

 \[
 M \cap N = \{ 2, 3, 5 \} \cap \{ 2, 4, 6 \} = \{ 2 \}
 \]

**এখন \( (M \setminus N) \cup (N \setminus M) \) বের করি:**

\[
(M \setminus N) \cup (N \setminus M) = \{ 3, 5 \} \cup \{ 4, 6 \} = \{ 3, 4, 5, 6 \}
\]

**এখন আমরা \( (M \setminus N) \cup (N \setminus M) \) এবং \( M \cap N \) কে যোগ করি:**

\[
(M \setminus N) \cup (N \setminus M) = \{ 3, 4, 5, 6 \}
\]
\[
M \cap N = \{ 2 \}
\]

এখন,

\[
(M \setminus N) \cup (N \setminus M) \cup (M \cap N) = \{ 3, 4, 5, 6 \} \cup \{ 2 \} = \{ 2, 3, 4, 5, 6 \}
\]

**সুতরাং, আমরা দেখতে পাই:**

\[
M \cup N = \{ 2, 3, 4, 5, 6 \}
\]

**অতএব,**

\[
M \cup N = (M \setminus N) \cup (N \setminus M) \cup (M \cap N)
\]

প্রমাণিত হলো যে, \( M \cup N = (M \setminus N) \cup (N \setminus M) \cup (M \cap N) \)।