$A(a, b), B(b, a)$ ও $C\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right)$ বিন্দু তিনটি সমরেখ এবং $D\left(-a,-b\right)$ অপর একটি বিন্দু।

এখানে, A(a, b) B(b, a) প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়।

$\therefore$ AB রেখার ঢাল, $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{a-b}{b-a}=\frac{\left(a-b\right)}{-\left(a-b\right)}=-1$

$\therefore$ AB রেখার সমীকরণ, $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$

বা, $y-b=-1\left(x-a\right)$

বা, $y-b=-x+a$

$\therefore$   $x + y = a + b$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x + y = a + b$

এখানে, A(a, b) B(b, a) এবং $C\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right)$ প্রদত্ত বিন্দুত্রয়।

যেহেতু A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখAB ও BC রেখার ঢাল পরস্পর সমান হবে।

এখন, AB রেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{a-b}{b-a}=\frac{\left(a-b\right)}{-\left(a-b\right)}=-1$

আবার, BC রেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{b}}-a}{{\displaystyle \frac{1}{a}}-b}=\frac{1-ab}{b}\times \frac{a}{1-ab}=\frac{a}{b}$

শর্তমতে, AB রেখার ঢাল BC রেখার ঢাল

বা, $-1=\frac{a}{b}$

বা, $a=-b$

$\therefore$$a + b = 0$ (প্রমাণিত)

এখানে, A(5, 3) B(3, 5) এবং D(- 5, - 3) বিন্দুত্রয়।

এখন, $∆ABD$এ AB বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{{(3-5)}^2+{\left(5-3\right)}^2}$

$=\sqrt{4+4}$ একক

$=\sqrt{8}$ একক

BD বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{{(-5-3)}^2+{\left(-3-5\right)}^2}$ একক

$=\sqrt{64+64}$ একক

$=\sqrt{128}$ একক

এবং DA বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{{\left\{5-(-5)\right\}}^2+{\left\{3-\left(-3\right)\right\}}^2}$

$=\sqrt{100+36}$

$=\sqrt{136}$

এখানে,  $A{B}^2=(\sqrt{8}{)}^2$ একক = $8$ একক

$B{D}^2=(\sqrt{128}{)}^2$একক $=128$ একক

এবং  $D{A}^2=(\sqrt{136}{)}^2$একক $=136$ একক

$A{B}^2+B{D}^2=(8+128)$একক $=136$একক $=D{A}^2$

$∆ABD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

$∆ABD$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}5& 3& -5& 5\\ 3& 5& -3& 3\end{array}\right|$  বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left(25-9-15-9+25+15\right)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left(65-33\right)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 32$ বর্গ একক

$=16$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 16 বর্গ একক