△ ABC-এর M ও N যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় P বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

চিত্রে, △ ABC এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N I ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

এখানে, △ ABC এর AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N ; M ও N যোগ করি।

প্রমাণ করতে হবে যে,

MN || BC এবং MN = $\frac{1}{2}$ BC.

অঙ্কন: MN কে Q পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন MN = NQ হয়। Q এবং C যোগ করি।

প্রমাণ: △ AMN এবং △ CQN এর মধ্যে

MN = NQ [$\because$অঙ্কনানুসারে]

AN = CN  [$\because$AC এর মধ্যবিন্দু N]

এবং ∠ANM = ∠CNQ [$\because$বিপ্রতীপ কোণ]

সুতরাং △ AMN = △ CQN [$\because$বাহ্-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

সুতরাং AM = CQ এবং ∠MAN = ∠QCN

আবার M, AB এর মধ্যবিন্দু বলে AM = BM

ফলে, BM = CQ

আবার, ∠MAN = একান্তর ∠QCN বলে AM || CQ বা AB || CQ

অর্থাৎ BM || CQ

এখন, BCQM চতুর্ভুজে BM ও CQ পরস্পর সমান ও সমান্তরাল বলে MQ ও BC পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হবে।

সুতরাং MN || BC

আবার, MQ = BC

বা,  MN + NQ = BC [$\because$MQ = MN+NQ]

বা, MN + MN = BC [$\because$NQ=MN]

বা, 2MN = BC

$\therefore$ MN = $\frac{1}{2}$ BC

অতএব MN || BC এবং MN = $\frac{1}{2}$BC (প্রমাণিত)

এখানে, △ ABC এর ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BPC = 90° + $\frac{1}{2}$ ∠A

প্রমাণ : △ ABC-এ,

∠A+∠B+∠C=180°  [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]

বা, $\frac{1}{2}$ ∠B + $\frac{1}{2}$ ∠C = 90° - $\frac{1}{2}$ ∠A __________ (i)

আবার, △ BPC-এ, ∠BPC + ∠PBC+∠PCB = 180°

বা, $\frac{1}{2}$∠BPC+ $\frac{1}{2}$∠ABC+ $\frac{1}{2}$∠ACB = 180°

বা, $\frac{1}{2}$ ∠BPC+$\frac{1}{2}$∠B+$\frac{1}{2}$∠C= 180°

বা, ∠BPC + 90° - $\frac{1}{2}$∠A = 180° [(i)নং হতে]

বা, ∠BPC = 180° - 90° + $\frac{1}{2}$ ∠A

∠BPC = 90° + $\frac{1}{2}$ ∠A. (প্রমাণিত)