△ ABC এর ∠ABC > ∠ACB.

ত্রিভুজের বহিঃস্থ ও অন্তঃস্থ কোণ : কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তা ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ। এই কোণের সন্নিহিত কোণটি ছাড়া ত্রিভুজের অপর দুইটি কোণকে এই বহিঃস্থ, কোণের বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ বলে।

মনে করি, △ ABC এর ∠ABC > ∠ACB

প্রমাণ করতে হবে যে, AC > AB.

প্রমাণ:

ধাপ-১: যদি AC বাহু AB বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর না হয়, তবে

(i) AC = AB অথবা (ii) AC

(i) যদি AC = AB হয়, তবে ∠ABC = ∠ACB  [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান রাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণদ্বয় সমান]

কিন্তু শর্তানুযায়ী ∠ABC > ∠ACB, তা প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

(ii) আবার যদি AC

কিন্তু তাও প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ-২: সুতরাং AC বাহু AB এর সমান বা AB থেকে ক্ষুদ্রতর হতে পারে না।

AC > AB. (প্রমাণিত)

মনে করি, △ ABC-এ ∠ABE এবং ∠ACD দুইটি বহিঃস্থ কোণ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABE + ∠ACD > দুই সমকোণ।

প্রমাণ:

ধাপ ১. Δ ABC-এ বহিঃস্থ ∠ABE> ∠ACB [বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, ∠ABE + ∠ACD > ∠ACB + ∠ACD  [উভয়পক্ষে ∠ACD যোগ করে]

বা, ∠ABE + ∠ACD > দুই সমকোণ [বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর]

ধাপ ২. আবার, △ ABC-এ বহিঃস্থ ∠ACD > ∠ABC [বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, ∠ABE + ∠ACD > ∠ABE + ∠ABC[উভয়পক্ষে ∠ABE যোগ করে]

বা, ∠ABE + ∠ACD >  [দুই সমকোণ বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা]

ধাপ ৩. 2(∠ABE + ∠ACD) > 4 সমকোণ [(১) ও (২) থেকে ]

বা, ∠ABE + ∠ACD > $\frac{4}{2}$  সমকোণ

∠ABE + ∠ACD > 2 সমকোণ। (দেখানো হলো)