Academy
অষ্টম শ্রেণি
গণিত
ABCD একটি সামান…

ABCD একটি সামান্তরিক। AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।

Created: 3 years ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

708

(ক)

∠BAD=70° হলে ∠ABC এর মান নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

আমরা জানি, সামান্তরিকের যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি $180^\circ$।

দেওয়া আছে, $ABCD$ একটি সামান্তরিক এবং $\angle BAD = 70^\circ$।

যেহেতু $\angle BAD$ ও $\angle ABC$ পরস্পর সন্নিহিত কোণ,

$\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ$

$\Rightarrow 70^\circ + \angle ABC = 180^\circ$

$\Rightarrow \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ$

$\Rightarrow \angle ABC = 110^\circ$

উত্তর: $110^\circ$

Satt AI

1 week ago

(খ)

AC = BD হলে প্রমাণ কর যে, ABCD একটি আয়ত।

উত্তরঃ

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, $ABCD$ একটি সামান্তরিক। $AC$ ও $BD$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং $AC = BD$। প্রমাণ করতে হবে যে, $ABCD$ একটি আয়ত।

প্রমাণ:

$\triangle ABC$ এবং $\triangle BCD$ -এর মধ্যে—

$AB = CD$ [সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান]

$BC = BC$ [সাধারণ বাহু]

এবং $AC = BD$ [দেওয়া আছে]

অতএব, $\triangle ABC \cong \triangle BCD$ [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]

সুতরাং, $\angle ABC = \angle BCD$।

আমরা জানি, সামান্তরিকের একই রেখার পরপর দুটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$ (বা দুই সমকোণ)।

অতএব, $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$

বা, $\angle ABC + \angle ABC = 180^\circ$ [$\because \angle BCD = \angle ABC$]

বা, $2\angle ABC = 180^\circ$

বা, $\angle ABC = 90^\circ$

যেহেতু $ABCD$ সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ ($90^\circ$), সুতরাং $ABCD$ একটি আয়ত। (প্রমাণিত)

Satt AI

1 week ago

(গ)

AB=AD হলে প্রমাণ কর যে, AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। ABCD চতুর্ভুজে AC ও BD কর্ণদ্বয় অসমান এবং যেকোনো দু'টি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

উত্তরঃ

বিশেষ নির্বচন:

দেওয়া আছে, $ABCD$ একটি সামান্তরিক। $AC$ ও $BD$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং $AB = AD$।
প্রমাণ করতে হবে যে, $AC$ ও $BD$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
অর্থাৎ,
(i) $AO = CO$ এবং $BO = DO$
(ii) $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 1\text{ সমকোণ}$।

প্রমাণ:

ধাপ ১:
আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
যেহেতু $ABCD$ একটি সামান্তরিক এবং $AC$ ও $BD$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে,
সুতরাং, $AO = CO$ এবং $BO = DO$। (কর্ণদ্বয় সমদ্বিখন্ডিত হলো)

ধাপ ২:
এখন, $\triangle AOB$ এবং $\triangle AOD$-এর মধ্যে:
$AB = AD$ (দেওয়া আছে)
$BO = DO$ [ধাপ ১ থেকে]
$AO = AO$ (সাধারণ বাহু)
অতএব, $\triangle AOB \cong \triangle AOD$ [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]

ধাপ ৩:
যেহেতু ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম, তাই তাঁদের অনুরূপ কোণদ্বয় সমান।
অতএব, $\angle AOB = \angle AOD$

ধাপ ৪:
যেহেতু $\angle AOB$ এবং $\angle AOD$ রৈখিক যুগল কোণ এবং $BD$ সরলরেখার উপর $AO$ রেখাশাংশ দণ্ডায়মান,
অতএব, $\angle AOB + \angle AOD = 2\text{ সমকোণ}$
বা, $\angle AOB + \angle AOB = 2\text{ সমকোণ}$ [$\because \angle AOD = \angle AOB$]
বা, $2\angle AOB = 2\text{ সমকোণ}$
অতএব, $\angle AOB = 1\text{ সমকোণ}$।

ধাপ ৫:
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, $\angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 1\text{ সমকোণ}$।

সুতরাং, $AC$ ও $BD$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। (প্রমাণিত)

Satt AI

1 week ago

708

MCQ: 133 CQ: 26

Practice

Related Question

View All

(ক)

প্রমাণ কর যে,

∠BDF + ∠DFE + ∠FEB + ∠EBD = চার সমকোণ।

অষ্টম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৮.১

514

উত্তরঃ

বিশেষ নির্বচন:

উদ্দিপক অনুযায়ী, চিত্র থেকে পাই $BDFE$ একটি চতুর্ভুজ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle BDF + \angle DFE + \angle FEB + \angle EBD =$ চার সমকোণ।

অঙ্কন:

$DE$ যোগ করি।

প্রমাণ:

$DE$ কর্ণ চতুর্ভুজ $BDFE$-কে দুটি ত্রিভুজ $\triangle BDE$ এবং $\triangle DEF$-এ বিভক্ত করে।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা $180^\circ$।

$\triangle BDE$-এর ক্ষেত্রে,

$\angle EBD + \angle BDE + \angle DEB =$ ২ সমকোণ ...... (i)

$\triangle DEF$-এর ক্ষেত্রে,

$\angle EDF + \angle DFE + \angle FED =$ ২ সমকোণ ...... (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\angle EBD + (\angle BDE + \angle EDF) + \angle DFE + (\angle DEB + \angle FED) =$ ২ সমকোণ + ২ সমকোণ

চিত্র হতে পাই,

$\angle BDE + \angle EDF = \angle BDF$

এবং $\angle DEB + \angle FED = \angle FEB$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$\angle EBD + \angle BDF + \angle DFE + \angle FEB =$ ৪ সমকোণ

সুতরাং, $\angle BDF + \angle DFE + \angle FEB + \angle EBD =$ চার সমকোণ। (প্রমাণিত)

Satt AI

1 week ago

514

(খ)

প্রমাণ কর যে, DF | BC এবং $D F = \frac{1}{2} B C$

অষ্টম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৮.১

516

উত্তরঃ

বিশেষ নির্বচন:

দেওয়া আছে, $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D$ ও $F$। $D$ ও $F$ যোগ করা হলো।
প্রমাণ করতে হবে যে, $DF \parallel BC$ এবং $DF = \frac{1}{2}BC$।

অঙ্কন:

$D$ ও $F$ যোগ করে $G$ পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন $DF = FG$ হয়। $C$ ও $G$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১: $\triangle ADF$ এবং $\triangle CGF$-এ,
$AF = FC$ [যেহেতু $F$, $AC$ এর মধ্যবিন্দু]
$DF = FG$ [অঙ্কনানুসারে]
এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle AFD = \text{অন্তর্ভুক্ত } \angle CFG$ [বিপ্রতীপ কোণ]
অতএব, $\triangle ADF \cong \triangle CGF$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

ধাপ ২:
সুতরাং, $AD = CG$ এবং $\angle DAF = \angle FCG$
কিন্তু $\angle DAF$ এবং $\angle FCG$ একান্তর কোণ।
অতএব, $AD \parallel CG$ বা $AB \parallel CG$।

ধাপ ৩:
আবার, $AD = BD$ [যেহেতু $D$, $AB$ এর মধ্যবিন্দু]
সুতরাং, $BD = CG$
যেহেতু $BD \parallel CG$ এবং $BD = CG$, সেহেতু $BCGD$ একটি সমান্তরিক।

ধাপ ৪:
যেহেতু $BCGD$ একটি সমান্তরিক, তাই $DG \parallel BC$ এবং $DG = BC$।
অতএব, $DF \parallel BC$ (প্রমাণিত)

আবার,
$DG = BC$
বা, $DF + FG = BC$
বা, $DF + DF = BC$ [যেহেতু $DF = FG$]
বা, $2DF = BC$
অতএব, $DF = \frac{1}{2}BC$ (প্রমাণিত)

Satt AI

1 week ago

516

(ক)

AB ভূমিবিশিষ্ট দুইটি ত্রিভুজের নাম লেখ।

অষ্টম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৮.১

596

উত্তরঃ

$\triangle ABD$ এবং $\triangle ABC$।

Satt AI

1 month ago

596

(খ)

প্রমাণ কর যে, AD ও BC পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।

অষ্টম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৮.১

438

উত্তরঃ

বিশেষ নির্বচন:

দেওয়া আছে, চিত্রে $ABCD$ চতুর্ভুজে $AB = CD$ এবং $AB \parallel CD$। $AC$ কর্ণ চতুর্ভুজটিকে $\triangle ABC$ ও $\triangle ADC$ ত্রিভুজদ্বয়ে বিভক্ত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $AD$ ও $BC$ পরস্পর সমান ও সমান্তরাল (অর্থাৎ, $AD = BC$ এবং $AD \parallel BC$)।

প্রমাণ:

ধাপ ১:
$AB \parallel CD$ এবং $AC$ তাদের ছেদক।
অতএব, $\angle BAC = \angle ACD$ [একান্তর কোণ]

ধাপ ২:
এখন, $\triangle ABC$ এবং $\triangle ADC$-এর মধ্যে—
$AB = CD$ [দেওয়া আছে]
$\angle BAC = \angle ACD$ [প্রমাণিত]
এবং $AC$ সাধারণ বাহু।
অতএব, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

ধাপ ৩:
যেহেতু ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম, সুতরাং—
$AD = BC$

ধাপ ৪:
আবার, $\angle ACB = \angle CAD$
কিন্তু $\angle ACB$ ও $\angle CAD$ কোণদ্বয় একান্তর কোণ, যা $AD$ ও $BC$ রেখাংশকে $AC$ রেখা ছেদ করায় উৎপন্ন হয়েছে।
অতএব, $AD \parallel BC$

সুতরাং, $AD$ ও $BC$ পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। (প্রমাণিত)

Satt AI

1 week ago

438

(গ)

দেখাও যে, OA = OC এবং OB = OD

অষ্টম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৮.১

457

উত্তরঃ

বিশেষ নির্বচন:

দেওয়া আছে, চিত্রে $AB = CD$ এবং $AB \parallel CD$। $AC$ ও $BD$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাতে হবে যে, $OA = OC$ এবং $OB = OD$।

প্রমাণ:

$AB \parallel CD$ এবং $AC$ তাদের ছেদক।
অতএব, $\angle BAC = \angle ACD$ [একান্তর কোণ]
বা, $\angle OAB = \angle OCD$

আবার, $AB \parallel CD$ এবং $BD$ তাদের ছেদক।
অতএব, $\angle ABD = \angle BDC$ [একান্তর কোণ]
বা, $\angle OBA = \angle ODC$

এখন, $\triangle AOB$ এবং $\triangle COD$-এর মধ্যে—
১. $\angle OAB = \angle OCD$
২. $\angle OBA = \angle ODC$
৩. $AB = CD$ [দেওয়া আছে]

সুতরাং, $\triangle AOB \cong \triangle COD$ [কোণ-বাহু-কোণ বা কো-বা-কো উপপাদ্য]

যেহেতু ত্রিভুজ দুটি সর্বসম, তাই তাদের অনুরূপ বাহুগুলো পরস্পর সমান।
অতএব, $OA = OC$ এবং $OB = OD$। (দেখানো হলো)

Satt AI

1 week ago

457

(ক)

∠BAD=70° হলে ∠ABC এর মান নির্ণয় কর।

অষ্টম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৮.১

470

উত্তরঃ

আমরা জানি, সামান্তরিকের যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি $180^\circ$।

দেওয়া আছে, $ABCD$ একটি সামান্তরিক এবং $\angle BAD = 70^\circ$।

যেহেতু $\angle BAD$ ও $\angle ABC$ পরস্পর সন্নিহিত কোণ,

$\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ$

$\Rightarrow 70^\circ + \angle ABC = 180^\circ$

$\Rightarrow \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ$

$\Rightarrow \angle ABC = 110^\circ$

উত্তর: $110^\circ$

Satt AI

1 week ago

470

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

ABCD একটি সামান্তরিক। AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।

Related Question

Related Question

Promotion