ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

প্রদত্ত চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো:

    
• A(-3, 4)
    
• B(6, 4)
    
• C(5, -5)
    
• D(-4, -5)

৩য় চতুর্ভাগ হলো কার্তেসীয় সমতলের সেই অংশ যেখানে x-স্থানাঙ্ক এবং y-স্থানাঙ্ক উভয়ই ঋণাত্মক (অর্থাৎ, x ≤ 0 এবং y ≤ 0)।

ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত, সেটি নির্ণয় করার জন্য আমাদের AD এবং CD রেখাংশগুলোর x ও y অক্ষের সাথে ছেদবিন্দুগুলো খুঁজে বের করতে হবে। কারণ, D(-4, -5) বিন্দুটি ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত, কিন্তু A, B, C বিন্দুগুলো অন্য চতুর্ভাগে অবস্থিত।

১. CD রেখাংশ দ্বারা ৩য় চতুর্ভাগের সীমানা:

C(5, -5) এবং D(-4, -5) বিন্দু দুটিকে সংযুক্তকারী রেখাংশ হলো y = -5। এই রেখাংশটি x-অক্ষের সমান্তরাল। এর যে অংশ ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত, তা হলো D(-4, -5) থেকে y-অক্ষ (যেখানে x=0) পর্যন্ত।

সুতরাং, CD রেখাংশ y-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, তা হলো \(P_y(0, -5)\)।

২. AD রেখাংশ দ্বারা ৩য় চতুর্ভাগের সীমানা:

A(-3, 4) এবং D(-4, -5) বিন্দু দুটিকে সংযুক্তকারী রেখার সমীকরণ নির্ণয় করি।

বিন্দুদ্বয় দিয়ে অতিক্রমকারী রেখার ঢাল \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-5 - 4}{-4 - (-3)} = \frac{-9}{-1} = 9\)

রেখার সমীকরণ: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)

\(y - 4 = 9(x - (-3))\)

\(y - 4 = 9(x + 3)\)

\(y - 4 = 9x + 27\)

\(y = 9x + 31\)

এই রেখাংশটি x-অক্ষকে (যেখানে y=0) যে বিন্দুতে ছেদ করে, তা নির্ণয় করি:

\(0 = 9x + 31\)

\(9x = -31\)

\(x = -\frac{31}{9}\)

সুতরাং, AD রেখাংশ x-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, তা হলো \(P_x(-\frac{31}{9}, 0)\)।

এখন, ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো:

    
• মূলবিন্দু O(0, 0)
    
• x-অক্ষের উপর ছেদবিন্দু \(P_x(-\frac{31}{9}, 0)\)
    
• চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু D(-4, -5)
    
• y-অক্ষের উপর ছেদবিন্দু \(P_y(0, -5)\)

এই চারটি বিন্দু দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি O-\(P_x\)-D-\(P_y\) একটি ট্র্যাপিজিয়াম (Trapezium)।

এই ট্র্যাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় x-অক্ষের সমান্তরাল।

    
• x-অক্ষের উপর প্রথম সমান্তরাল বাহু O\(P_x\) এর দৈর্ঘ্য: \(L_1 = |-\frac{31}{9} - 0| = \frac{31}{9}\) একক।
    
• y = -5 রেখার উপর দ্বিতীয় সমান্তরাল বাহু \(P_y\)D এর দৈর্ঘ্য: \(L_2 = |-4 - 0| = 4\) একক।

ট্র্যাপিজিয়ামের উচ্চতা \(h\) হলো y=0 এবং y=-5 রেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব।

\(h = |0 - (-5)| = 5\) একক।

ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র:

\(\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল}) \times \text{উচ্চতা}\)

\(\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} (L_1 + L_2) \times h\)

\(\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \left( \frac{31}{9} + 4 \right) \times 5\)

\(\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \left( \frac{31}{9} + \frac{36}{9} \right) \times 5\)

\(\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \left( \frac{31 + 36}{9} \right) \times 5\)

\(\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \left( \frac{67}{9} \right) \times 5\)

\(\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{67 \times 5}{2 \times 9}\)

\(\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{335}{18}\) বর্গ একক

সুতরাং, ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল \(\frac{335}{18}\) বর্গ একক।