Answer the following mathematical problems:

Created: 3 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

268

(a)

A sum of money compounded annually doubles itself in 15 years. In how many years will it become 8 times?

উত্তরঃ

$H e r e, P r i n c i p a l = p; R a t e o f i n t e r e s t = r; T i m e = n$

$∴ C o m p o u n d e d a m o u n t = p {(1 + \frac{r}{100})}^{n}$

$N o w, a c c o r d i n g t o q u e s t i o n, p {(1 + \frac{r}{100})}^{15} = 2 p ∴ {(1 + \frac{r}{100})}^{15} = 2 . . . . . . . . . . . . . . . (i) L e t, n b e t h e n u m b e r o f y e a r s w h e n p r i n c i p a l w i l l b e c o m e 8 t i m e s . ∴ p {(1 + \frac{r}{100})}^{n} = 8 p = {(1 + \frac{r}{100})}^{n} = 8 = (1 + \frac{r}{100}) = 2^{3} = {(1 + \frac{r}{100})}^{n} = {(1 + \frac{r}{100})}^{3 \times 15} = {(1 + \frac{r}{100})}^{n} = {(1 + \frac{r}{100})}^{45} ∴ n = 45 ∴ R e q u i r e d t i m e s 45 y e a r s .$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(b)

The area of a curved surface of a right circular cylinder is 100 sq, cm. and its volume is 150 cubic cm. Find the height and the radius of the cylinder.

উত্তরঃ

$L e t, t h e r a d i u s a n d h e i g h t o f t h e c y l i n d e r b e r a n d h c m r e s p e c t i v e l y . W e k n o w, s u r f a c e a r e a o f c y l i n d e r i s = 2 πrh {cm}^{2}$

$A n d v o l u m e o f t h e c y l i n d e r i s = {πr}^{2} h {cm}^{3} According to question, 2 πrh = 100 . . . . . . . . . (i) And, {πr}^{2} h = 150 . . . . . . . (ii) Dividing equation (ii) by equation (i), we get$

$\frac{{πr}^{2} h}{2 πrh} = \frac{150}{100} = \frac{r}{2} = \frac{3}{2} ∴ r = 3 c m P u t t i n g, r = 3 i n e q u a t i o n (i), w e g e t 2 πrh = 100 ∴ h = \frac{100}{2 πr} = \frac{100}{2 \times 3 \times 3.1416} = 5.3 cm ∴ Required radius = 3 cm and height = 5.3 cm .$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(c)

What is the circumference of the circle if a 3 by 4 rectangle is inscribed in the circle?

উত্তরঃ

$L e t u s d e p i c t a f i g u r e a c c o r d i n g t o q u e s t i o n H e r e, A B C D i s a 3 b y 4 r e c \tan g l e w h i c h i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e . ∴ D i a g o n a l o f t h e r e c t a n g l e a r e a, A C = D^{\sqrt{A D^{2} + C D^{2}}} = C^{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 u n i t$

$∴ R a d i u s o f t h e c i r c l e = \frac{5}{2} u n i t ∴ C i r c u m f e r e n c e o f t h e c i r c l e = 2 π r [H e r e, r = r a d i u s] = 2 \times 3.1416 \times \frac{5}{2} = 15.71 u n i t .$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(d)

In how many ways 50 people can be divided into 3 groups, so that cache group contains members equal to a prime number?

উত্তরঃ

$H e r e, c l e a r l y t h e s u m o f a l l t h r e e g r o u p s i s 50 . W e k n o w, s u m o f t h r e e o d d n u m b e r s c a n n o t b e 50 . T h e r e f o r e, w e n e e d o n e e v e n p r i m e i n t e g e r, H e r e, t h e o n l y p r i m e e v e n i n t e g e r i s 2 . T h e r e f o r e, o n e g r o u p h a s 2 p e o p l e N o w, w e h a v e t o a l l o t r e m a i n i n g 48 p e o p l e i n t w o o d d n u m b e r g r o u p . A v a i l a b l e c o m b i n a t i o n b e (i) 2, 5, 43 (i i) 2, 7, 41 (i i i) 2, 11, 37 (i v) 2, 17, 31 (v) 2, 19, 29 ∴ T h e r e a r e f i v e w a y s w e c a n d i v i d e 50 p e o p l e i n t o t h r e e g r o u p s, s o t h a t e a c h g r o u p c o n t a i n s m e m b e r s e q u a l t o a p r i m e n u m b e r . a n s w e r : 5 w a y s .$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(e)

Find A and B, if both A and B are acute angles and cot (A + B) = 1 , cot(A - B) = $\sqrt{3}$

উত্তরঃ

$G i v e n, c o t (A + B) = 1$

$= c o t (A + B) = c o t 45 ° [[A s, c o t 45 ° - 1] ∴ A + B = 45 ° . . . . . . . . . . . . . . (i) a g a i n, c o t (A - B) = \sqrt{3} = c o t (A - B) = c o t 30 ° [A s, c o t 30 ° = \sqrt{3}) ∴ A - B = 30 ° . . . . . . . . . . . . . . . . . (i i) A d d i n g e q u a t i o n (i) w i t h e q u a t i o n (i i) w e g e t \frac{A + B = 45 ° A - B = 30 °}{2 A = 75 °} ∴ A = \frac{75 °}{2} = 37.5 ° S u b t r a c t i n g e q u a t i o n (i i) f r o m (i), w e g e t \frac{A + B = 45 ° A - B = 30 °}{2 B = 15 °} ∴ B = \frac{15 °}{2} = 7.5 ° ∴ R e q u i r e d A = 37.5 ° a n d B = 7.5 °$

PRONAY TIRKI

2 years ago

268

MCQ: 64 CQ: 14

Practice

সমাবেশ (Combination)

কতকগুলো ব্স্তু থেকে প্রতিবারে কয়েকটি বা সবগুলোকে প্রতিবার নিয়ে যতগুলো দল গঠন করা যায় তাকে সমাবেশ বলে।

সমাবেশ হলো কয়েকটি উপাদান থেকে প্রত্যেকবার নির্দিষ্ট কিছু উপাদান নিয়ে এক একটি দল গঠন করা। এখানে ধারাবাহিকতা পরিবর্তন হলেও দলের সংখ্যা একই থাকবে।

সমাবেশের সূত্র: $n_{c_{r}} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ n! r!(n-r)! [বিন্যাসের সূত্রের মতই শুধু অতিরিক্ত হিসেবে হরের সাথে r! গুণ করতে হবে।]

বিন্যাস বনাম সমাবেশ (Permutation Vs Combination)

Combination এর ক্ষেত্রে Order (ধারাবাহিকতা) কোন Factor নয়। কিন্তু Permutation এর ক্ষেত্রে ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ এবং Order এর পরিবর্তন হলে সংখ্যারও পরিবর্তন হবে। যেমন: বিভিন্ন পরীক্ষার প্রশ্নে যখন এই দুটি অধ্যায় থেকে প্রশ্ন আসবে তখন লিখে দেয়া থাকবে না কোনটি বিন্যস এবং কোনটি সমাবেশ হবে। ভালোভাবে পার্থক্য না জানলে একটার জায়গায় অন্যটির উত্তর বের করে ফেলতে পারেন। তাই এদের মধ্যকার পার্থক্যগুলো নিচে ছক আকারে তুলে ধরা হল।

বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যকার মৌলিক পার্থক্য

(বিন্যাস) Permutation	(সমাবেশ) Combination
বিন্যাস হলো সাজানোর ধরণ অর্থাৎ কত ভাবে সাজানো যায় তা বের করা, এখানে ধারাবাহিকতা পরিবর্তন হলে নতুন বিন্যাস হয়।	আর সমাবেশ হলো বাছাই করা, কয়েকজন থেকে বাছাই করার সময় কে আগে আসলো কে পরে আসলো তা দেখার প্রয়োজন নেই অর্থাৎ এখানে ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ নয়।
বিন্যাসের সুত্র: $n_{P_{r}} = \frac{n!}{(n - r)!}$	সমাবেশের সূত্র: $n_{c_{r}} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ [বিন্যাসের সূত্রের মতই শুধু অতিরিক্ত হিসেবে হরের সাথে r! গুণ করতে হবে।]
বিন্যাসের উত্তর বড় হয়।	সমাবেশের উত্তর ছোট হয়।
রাকিব সামনে এবং রহিম পেছনে দাঁড়ানো অথবা রহিম সামনে রাকিব পেছনে দাঁড়ানো বোঝাতে দুটি ভিন্ন দাঁড়ানোর পদ্ধতি। অর্থাৎ সিরিয়াল পরিবর্তন হলে নতুন বিন্যাস হয়।	সমাবেশের ক্ষেত্রে বাংলাদেশ- ভারত আর ভারত বাংলাদেশ এর খেলা অর্থ দুটি খেলা না বরং একটি খেলা।
উদাহরণ: AB, BA, দুটি ভিন্ন বিন্যাস।	উদাহরণ: AB, BA উভয় মিলে একটি ই সমাবেশ।
বিন্যাস হয়: (i) অক্ষর সাজানোর প্রশ্নগুলোতে: যেমন: DHAKA (ii) সংখ্যা তৈরী করার প্রশ্নগুলোতে । যেমন: ১২৩,৩২১ (iii) যে কোন কিছুকে সাজাতে বলা হলে বিন্যাস করতে হয়।	সমাবেশ হয়: (i) হ্যান্ডশেক (ii) খেলা (iii) দল (iv) কমিটি (v) যে কোন কিছু বাছাই করার প্রশ্নগুলোতে সমাবেশের সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।

করমর্দন ও খেলার সংখ্যা

এই পদ্ধতিতে আমার শিখবো হ্যান্ডশেক সংখ্যা বের করা এবং কিভাবে কয়েকজন খেলোয়াড়ের ভেতর থেকে কতভাবে একটি ক্রিকেট, ফুটবল,বাস্কেটবল অথবা যে কোন দল গঠন করা যায়। সাথে সাথে কিভাবে এবং কতভাবে একটি দলের অধিনায়ক অথবা সহ অধিনায়ক নির্বাচিত করা যায় । দল গঠনের সময় বিভিন্ন খেলোয়াড়ের নাম আগে অথবা পরে যখনই বলা হোক না কেন তারা একটি দলই বোঝাবে, তাই দল গঠনের অংক গুলো সমাবেশের সুত্রানুযায়ী করতে হয়।

কখন গুণ (×) আর কখন যোগ (+)

যখন একটির সাথে অন্যটি নির্ভরশীল থাকে তখন গুণ করতে হবে। (প্রশ্নে “এবং” থাকলে ‘গুণ” )

যেমন: মোট ৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ৫ জন সদস্য নিয়ে একটি কলেজের কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে ২ জন মহিলা থাকবে ।

এখানে শুধু মহিলা বা শুধু পুরুষ নিয়ে কমিটি হবে না বরং পুরুষ ও মহিলা উভয়ে মিলে কমিটি হবে। অর্থাৎ একটার সাথে আরেকটা নির্ভরশীল । তাই এক্ষেত্রে গুণ করতে হবে $5_{c_{3}} \times 4_{c_{3}}$ = 10×6 = 60

কিন্তু একটির উপর আরেকটি নির্ভরশীল না হলে যোগ করতে হবে। (প্রশ্নে “অথবা” থাকলে 'যোগ' )

যেমন: একটি কলেজের কমিটি তৈরী করার উপায় আছে ২০টি আরেকটি ভিন্ন কলেজের কমিটি তৈরী করার উপায় আছে ১০টি। এখানে একটি কলেজের সাথে অন্য কলেজের কমিটির কোন নির্ভরশীলতা নেই, তাই এক্ষেত্রে মোট কমিটি সংখ্যা 20+10 = 30টি

Related Question

View All

(ক)

৫ জন মহিল ও ৪ জন পুরুষের মধ্য থেকে ২ জন পুরুষ এবং ১ জন মহিলা নিয়ে একটি দল কতভাবে বাছাই করা যেতে পারে?

BCS 40th BCS Written গণিত সমাবেশ (Combination)

490

Add Explanation

490

(খ)

১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি একজাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন । ওই জিনিসগুলো থেকে প্রতিবার ৫টি নিয়ে কত ভিন্ন ভিন্ন প্রকারে বাছাই করা যায় নির্ণয় করুন।

BCS 40th BCS Written গণিত সমাবেশ (Combination)

382

উত্তরঃ

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

মোট জিনিস = ১০টি

একজাতীয় জিনিস (অভিন্ন) = ২টি

ভিন্ন ভিন্ন জিনিস = $10 - 2 = 8$টি

প্রতিবার ৫টি জিনিস বাছাই করতে হবে।

আমরা একজাতীয় জিনিস থেকে ০, ১ অথবা ২টি বাছাই করতে পারি। এর উপর ভিত্তি করে ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে বাকি জিনিসগুলো বাছাই করতে হবে।

ক্ষেত্র ১: একজাতীয় জিনিস থেকে ০টি এবং ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৫টি বাছাই করা।

একজাতীয় ২টি জিনিস থেকে ০টি বাছাই করার উপায় = $1$ (কারণ তারা অভিন্ন)

ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে ৫টি বাছাই করার উপায় = $ \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 $

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = $1 \times 56 = 56$

ক্ষেত্র ২: একজাতীয় জিনিস থেকে ১টি এবং ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৪টি বাছাই করা।

একজাতীয় ২টি জিনিস থেকে ১টি বাছাই করার উপায় = $1$ (কারণ তারা অভিন্ন)

ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে ৪টি বাছাই করার উপায় = $ \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 $

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = $1 \times 70 = 70$

ক্ষেত্র ৩: একজাতীয় জিনিস থেকে ২টি এবং ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৩টি বাছাই করা।

একজাতীয় ২টি জিনিস থেকে ২টি বাছাই করার উপায় = $1$ (কারণ তারা অভিন্ন)

ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে ৩টি বাছাই করার উপায় = $ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 $

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = $1 \times 56 = 56$

সর্বমোট বাছাই করার ভিন্ন ভিন্ন প্রকার = ক্ষেত্র ১ + ক্ষেত্র ২ + ক্ষেত্র ৩

= $56 + 70 + 56$

= $182$