$A=x^2-2xy+8y^2,B=3xy-2y^2$

$C=18y^2-y^{2x},D=3^x$

আদর্শ রূপ দ্বিঘাত সমীকরণ $a{x}^2+bx+c=0$ এর সাথে

$2x^2-5x-1=0$ সমীকরণ তুলনা করে পাই, a = 2, b = - 5, c = - 1

অতএব, সমীকরণটির মূলদ্বয় $x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-4.2.(-1)}}{2.2}$

$=\frac{5\pm \sqrt{25+8}}{4}$

$=\frac{5\pm \sqrt{33}}{4}$

অর্থাৎ $x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{4}$

এবং $x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$

নির্ণেয় মূলদ্বয় :  $\frac{5+\sqrt{33}}{4}$ এবং $\frac{5-\sqrt{33}}{4}$

দেওয়া আছে, $A=x^2-2xy+8y^2$ এবং $B=3xy-2y^2$

এখন, A = 8 এবং B = 4 হলে $x^2-2xy+8y^2=8$ ………….. (1)

এবং $3xy-2y^2=4$ ………….. (2)

(1) কে (2) দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{x^2-2xy+8y^2}{3xy-2y^2}=\frac{8}{4}$

বা, $\frac{x^2-2xy+8y^2}{3xy-2y^2}=2$

বা, $x^2-2xy+8y^2=6xy-4y^2$

বা, $x^2-8xy+12y^2=0$

বা, $x^2-6xy-2xy+12y^2=0$

বা, x(x - 6y) - 2y(x - 6y) = 0

বা, (x - 6y)(x - 2y) = 0

∴ x = 6y ………….. (3)

অথবা, x - 2y ………….. (4)

(3) থেকে x এর মান (2) এ বসিয়ে পাই.

$3.6y.y-2y^2=4$

বা, $16y^2=4$

বা, $y^2=\frac{1}{4}$

বা, $y=\pm \frac{1}{2}$

(3) থেকে $x=6\times \left(\pm \frac{1}{2}\right)=\pm 3$

আবার (4) থেকে x এর মান (2) এ বসিয়ে পাই,

$3.2y-2y^2=4$

বা, $4y^2=4$

বা, $y^2=1$

বা, $y^2=\pm 1$

(iv) থেকে $x = 2\times \left(\pm 1\right) = \pm 2$

নির্ণেয় : $\left(x,y\right)=\left(3,\frac{1}{2}\right),\left(-3,-\frac{1}{2}\right) \left(2,1\right) \left(-2,-1\right)$

দেওয়া আছে,

$c=18y^2-y^{2x}$ এবং $D=3^x$

এখন, C = 81 এবং $D=y^2$ হলে

$18y^x-y^{2x}=81$ …….. (5)

এবং $3^x=y^2$ ……. (6)

(5) থেকে পাই,

$y^{2x}-18y^x+81=0$

বা,$(y^x-9{)}^2=0$

বা, $y^x-9=0$

বা, $y^x=3^2$ ……. (7)

(6) থেকে পাই, $(3^7{)}^x=(y^2{)}^x$

বা, ${3^x}^2-y^{2x}..........\left(8\right)$

(7) থেকে পাই,

$(y^x{)}^2-(3^2{)}^2$

বা, $y^{2x}=3^4$ ……. (9)

(8) ও (9) থেকে পাই,

$3^{x^2}=3^4$

বা, $x^2=4$

বা, $x=\pm 2$

x = 2 হলে (6) থেকে পাই, $y^2=9$

বা, $y=\pm 3$

x = - 2 হলে (7) থেকে পাই,

বা, $y^{-2}=9$

বা, $y^2=\frac{1}{9}$

বা, $y=\pm \frac{1}{3}$

নির্ণেয়, সমাধান : $(x, y) = (2, 3), (2-3), (-2, \frac{1}{3}), (-2, -\frac{1}{3} ).$