Committee X has 4 members, committees Y has 5 members, and these committees have no members in common. If a task force is to be formed consisting of one member of X and one member of Y, how many different task forces are possible?

(Solve the following problem)

কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product)

দুইটি সেটের উপাদানগুলোকে ক্রমানুসারে জোড়া বানিয়ে যে নতুন সেট তৈরি করা হয়, তাকে কার্তেসীয় গুণজ বলা হয়।

প্রতীক

A এবং B সেটের কার্তেসীয় গুণজকে A × B দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

A × B মানে হলো A সেটের প্রতিটি উপাদানকে B সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে জোড়া (ordered pair) বানানো।

গাণিতিক প্রকাশ

$A\times B=\left\{\right(a,b\left)\right|a\in A,b\in B\}$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2\}$$B=\{x,y\}$

তাহলে,

$A\times B=\left\{\right(1,x),(1,y),(2,x),(2,y\left)\right\}$

উপাদান সংখ্যা

যদি A সেটে mটি এবং B সেটে nটি উপাদান থাকে, তবে

$|A\times B|=m\times n$

বৈশিষ্ট্য

• ক্রম গুরুত্বপূর্ণ (A × B ≠ B × A সাধারণত)
• প্রতিটি উপাদান ordered pair আকারে থাকে
• সব সম্ভাব্য জোড়া তৈরি হয়
• গ্রাফ ও সম্পর্ক (Relation) নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

কার্তেসীয় গুণজ মানে হলো “দুই সেটের সব সম্ভাব্য ordered pair এর সমষ্টি”।

মনে রাখার উপায়

“এক সেটের প্রতিটি উপাদান → অন্য সেটের সব উপাদানের সাথে জোড়া” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

করিম সাহেব তাঁর বাড়ির একটি ঘরের ভিতরের দেওয়ালে সাদা বা নীল রং এবং বাইরের দেওয়ালে লাল বা হলুদ বা সবুজ রং এর লেপন দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিলেন। ভিতরের দেওয়ালে রং এর সেট A {সাদা, নীল} এবং বাইরের দেওয়ালে রং এর সেট B {লাল, হলুদ ও সবুজ}। করিম সাহেব তাঁর ঘরের রং লেপন (সাদা, লাল), (সাদা, হলুদ), (সাদা, সবুজ), (নীল, লাল), (নীল, হলুদ), (নীল, সবুজ) ক্রমজোড় আকারে দিতে পারেন।

উক্ত ক্রমজোড়ের সেটকে নিচের মতো করে লেখা হয় :

A × B= {(সাদা, লাল), (সাদা, হলুদ), (সাদা, সবুজ), (নীল, লাল), (নীল, হলুদ), (নীল, সবুজ)}

উপরোক্ত ক্রমজোড়ের সেটটিকেই কার্তেসীয় গুণজ সেট বলা হয়।

সেট গঠন পদ্ধতিতে, A × B = {(x, y) : x ∈ A এবং y ∈ B}

A × B কে পড়া হয় A ক্রস B

উদাহরণ ১. P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4}, R = P ∩ Q হলে P × R এবং R × Q নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4}

এবং R = P ∩ Q = {1, 2, 3} {3, 4} = {3}

$\therefore$ P × R = {1, 2, 3} × {3} = {(1, 3), (2, 3), (3, 3)}

এবং R × Q = {3} × { 3, 4} = { (3, 3), ( 3, 4)}

উদাহরণ ২. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 311 এবং 419 কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 23 অবশিষ্ট থাকে এদের সেট নির্ণয় কর।

সমাধান : যে স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 311 এবং 419 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 23 অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যা হবে 23 অপেক্ষা বড় এবং 311 - 23 = 288 এবং 419 - 23 = 396 এর সাধারণ গুণনীয়ক।

মনে করি, 23 অপেক্ষা বড় 288 এর গুণনীয়কসমূহের সেট A ।

এখানে, 288 = 1 × 288 = 2 × 144 = 3 x 96 = 4 × 72 = 6 × 48 = 8 × 36 = 9 × 32 = 12 × 24 = 16 × 18

$\therefore$ A = {24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288}

মনে করি, 23 অপেক্ষা বড় 396 এর গুণনীয়কসমূহের সেট B ।

এখানে, 396 = 1 × 396 = 2 × 198 = 3 × 132 = 4 × 99 = 6 × 66 = 9 × 44 = 11 × 36 = 12 × 33 = 18 × 22

$\therefore$ B = {33, 36, 44, 66, 99, 132, 198, 396}

$\therefore$ A ∩ B = {24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288} {33, 36, 44, 66, 99, 132, 198, 396}

$\therefore$ A ∩ B = {36}

নির্ণেয় সেট {36}

উদাহরণ ৩. 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৪৪ জন বাংলায়, ৪০ জন গণিতে এবং 70 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। ভেনচিত্রের সাহায্যে তথ্যগুলো প্রকাশ কর এবং কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তা নির্ণয় কর।

সমাধান : ভেনচিত্রে আয়তাকার ক্ষেত্রটি 100 জন শিক্ষার্থীর সেট U এবং বাংলায় ও গণিতে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট যথাক্রমে B ও M দ্বারা নির্দেশ করে। ফলে ভেনচিত্রটি চারটি নিশ্ছেদ সেটে বিভক্ত হয়েছে, যাদেরকে P, Q, R, F দ্বারা চিহ্নিত করা হলো।

এখানে, উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট Q = B ∩ M, যার সদস্য সংখ্যা 70

P = শুধু বাংলায় পাশ শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 88 - 70 = 18

R = শুধু গণিতে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 80 - 70 = 10

P U Q U R = B U M, যেকোনো একটি বিষয়ে এবং উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 18+ 10 +70 = 98

F = উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 100 - 98 = 2

$\therefore$ উভয় বিষয়ে ফেল করেছে 2 জন শিক্ষার্থী।