Compute the average and effective values of the square voltage wave shown in the following figure.

উত্তরঃ

এখানে প্রদত্ত বর্গাকার ভোল্টেজ তরঙ্গ থেকে গড় (average) এবং কার্যকর (effective) মান নির্ণয় করা হলো:

প্রদত্ত চিত্র থেকে পাই:

    
• সর্বোচ্চ ভোল্টেজ, \(V_m = 10 \text{ V}\)
    
• তরঙ্গটি \(1 \text{ ms}\) এর জন্য \(+10 \text{ V}\) এবং \(1 \text{ ms}\) এর জন্য \(-10 \text{ V}\) থাকে।
    
• সুতরাং, পর্যায়কাল, \(T = 1 \text{ ms} + 1 \text{ ms} = 2 \text{ ms}\)

১. গড় মান (Average Value) নির্ণয়:

কোনো ভোল্টেজ তরঙ্গের গড় মান নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\[ V_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T v(t) dt \]

যেহেতু তরঙ্গটি \(0\) থেকে \(1 \text{ ms}\) পর্যন্ত \(+10 \text{ V}\) এবং \(1 \text{ ms}\) থেকে \(2 \text{ ms}\) পর্যন্ত \(-10 \text{ V}\) থাকে, তাই:

\[ V_{avg} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ \int_0^{1 \times 10^{-3}} 10 dt + \int_{1 \times 10^{-3}}^{2 \times 10^{-3}} (-10) dt \right] \] \[ V_{avg} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ [10t]_0^{1 \times 10^{-3}} + [-10t]_{1 \times 10^{-3}}^{2 \times 10^{-3}} \right] \] \[ V_{avg} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ (10 \times 1 \times 10^{-3} - 0) + (-10 \times 2 \times 10^{-3} - (-10 \times 1 \times 10^{-3})) \right] \] \[ V_{avg} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ 10 \times 10^{-3} - 20 \times 10^{-3} + 10 \times 10^{-3} \right] \] \[ V_{avg} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ 0 \right] \] \[ V_{avg} = 0 \text{ V} \]

সুতরাং, ভোল্টেজ তরঙ্গের গড় মান \(0 \text{ V}\)।

২. কার্যকর মান (Effective Value) বা RMS মান (Root Mean Square Value) নির্ণয়:

কোনো ভোল্টেজ তরঙ্গের RMS মান নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\[ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T v(t)^2 dt} \]

যেহেতু তরঙ্গটি \(0\) থেকে \(1 \text{ ms}\) পর্যন্ত \(+10 \text{ V}\) এবং \(1 \text{ ms}\) থেকে \(2 \text{ ms}\) পর্যন্ত \(-10 \text{ V}\) থাকে, তাই \(v(t)^2\) সবসময় \(10^2 = 100 \text{ V}^2\) হবে:

\[ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ \int_0^{1 \times 10^{-3}} (10)^2 dt + \int_{1 \times 10^{-3}}^{2 \times 10^{-3}} (-10)^2 dt \right]} \] \[ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ \int_0^{1 \times 10^{-3}} 100 dt + \int_{1 \times 10^{-3}}^{2 \times 10^{-3}} 100 dt \right]} \] \[ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ [100t]_0^{1 \times 10^{-3}} + [100t]_{1 \times 10^{-3}}^{2 \times 10^{-3}} \right]} \] \[ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ (100 \times 1 \times 10^{-3} - 0) + (100 \times 2 \times 10^{-3} - 100 \times 1 \times 10^{-3}) \right]} \] \[ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ 100 \times 10^{-3} + 200 \times 10^{-3} - 100 \times 10^{-3} \right]} \] \[ V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2 \times 10^{-3}} \left[ 200 \times 10^{-3} \right]} \] \[ V_{rms} = \sqrt{100} \] \[ V_{rms} = 10 \text{ V} \]

সুতরাং, ভোল্টেজ তরঙ্গের কার্যকর মান (RMS) \(10 \text{ V}\)।