Consider an example from a maintenance shop. The inter-arrival times of tools at that shop are exponential with an average time of 10 minutes. The length of the service time is assumed to be exponentially distributed, with mean minutes. Estimate the fraction of the day that an operator will be idle.

প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, একজন গাড়ীর মালিক পরপর তিন বছরে 75 টাকা, 80 টাকা ও 85 টাকা দিয়ে পেট্রোল কিনল। সে যদি প্রতি বছর পেট্রোল বাবদ 40,000 টাকা ব্যয় করে, তবে গড়ে লিটার প্রতি প্রায় কত খরচ হয়েছিল?

Amount of petrol used in 3 years $= \left(\frac{40000}{75} + \frac{40000}{80}+\frac{40000}{85}\right)Liter$

$$\begin{gathered} = 40, 000 \left(\frac{1}{75} + \frac{1}{80} + \frac{1}{85}\right) Liter \\ = 40, 000 \times \frac{1}{5} \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{17}\right) Liter \\ = 8,000 \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{17}\right) Liter \\ = 8,000 \frac{272 + 255 + 240}{4080} Liter \\ = 8,000 \times \frac{767}{4080} Liter \\ = \frac{76700}{51} Liter \\ Total \cos t = 3 \times 40,000 = 120,000 Taka \\ \therefore Average \cos t = \frac{120000 \times 51}{76700} = 79.79 Taka \left(Approximately\right) \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, একটি ব্যবসায় দুইজন অংশীদারীর একজন P সক্রিয় অংশীদারী এবং অন্যজন Q শুধু বিনিয়োগ করে। P এর Q ঐ ব্যবসায় যথাক্রমে 3,40,000 টাকা এবং 6,50,000 টাকা বিনিয়োগ করে। ব্যবসা পরিচালনা বাবদ P ব্যবসা হতে 20% মুনাফা নিয়ে নেয়। মুনাফার বাকি অংশ তাদের মধ্যে বিনিয়োগের অনুপাতে ভাগ হয়। এখন প্রশ্ন হলো 99,000 টাকা মুনাফা হলে P কত টাকা পাবে ?

P gets as managerial works $= \left(99000 \times \frac{20}{100}\right) Tk. = 19,800 Tk.$

∴ Residual amount of profit = 99,000 - 19,800 Tk. = 79,200 Tk

Now, ratio of their investment = = 3,40,000 : 6,50,000 = 34 : 65

Sum of the ratio = 34 + 65 = 99

∴ P will get $= \left(79200 \times \frac{34}{99}\right) = 27,200 Tk.$

So, in total P will get as profit = 27,200+ 19,800 Tk. = 47,000 Tk.

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, আয়তাকৃতির একটি নলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 2 : 3, নলটির ক্ষেত্রফল $\frac{1}{6}$ হেক্টর। নলটির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ কত?

Let, the length of the lawn is 2x meter

& the breadth of the lawn is 3x meter

$$\begin{gathered} \therefore Area = (2x \times 3x)m^2 = 6x^2 m^2 \\ We know, 1 hector = 10,000 m^2 \\ \therefore \frac{1}{6} hector = \frac{10000}{6} m^2 \\ According to question \\ 6x^2 = \frac{10000}{6 } \\ \Rightarrow x^2 = \frac{10000}{6 \times 6} \\ \Rightarrow x = \sqrt{{\left(\frac{100}{6}\right)}^2} \\ \therefore x =\frac{100}{6} = \frac{50}{3} \\ \therefore The length of the lawn = 2x = \left(2 \times \frac{50}{3}\right) = \frac{100}{3} meter or 33.33 meter \\ \& the breadth of the lawn = 3x = \left(3 \times \frac{50}{3}\right) = 50 meter \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{x-1}{x^2-x-20}+\frac{4-x}{x^2-4x-5 } \\ = \frac{x-1}{x^2-5x+4x-20} + \frac{4-x}{x^2 -5x +x-5} \\ = \frac{x-1}{x \left(x-5\right)+ 4 \left(x-5\right)} + \frac{4 -x}{x \left(x-5\right) +1 \left(x-5\right)} \\ = \frac{x-1}{\left(x-5\right) \left(x+4\right)} + \frac{4-x}{\left(x-5\right) \left(x+1\right)} \\ = \frac{\left(x-5\right) \left(x+1\right) + \left(4-x\right) \left(x+4\right)}{\left(x-5\right) \left(x+4\right) \left(x+1\right)} \\ = \frac{\left(x-1\right) \left(x+1\right) +\left(4+x\right) \left(4-x\right) }{\left(x-5\right) \left(x+4\right) \left(x+1\right)} \\ = \frac{x^2 - 1 + \left(4^2 - x^2\right)}{\left(x-5\right) \left(x+4\right) \left(x+1\right)} \\ = \frac{x^2 -1 + 16 - x^2}{\left(x-5\right) \left(x+4\right) \left(x+1\right)} \\ = \frac{15}{\left(x-5\right) \left(x+4\right) \left(x+1\right)} \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, 10 টা এবং 10.02 টায় একটি বেলনের 25° হতে লম্ব বরাবর 60° কোণে উপরের দিকে উঠছে। উন্নতি বিন্দু হতে পর্যবেক্ষণ বিন্দুর দূরত্ব 300 মিটার হলে বেলনের উর্ধ্বগতিবেগ কত?

Let us depict a image based upon question

Let, again CD = h₁ & AC = h₂

The balloon's height at 10.00 am, $\tan \theta = \frac{CD}{BC}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \tan 25° =\frac{h_1}{300} \\ \Rightarrow h_1 = 300 \times \tan 25° \\ \Rightarrow h_1 =300 \times 0.4663 [U\sin g calculator] \\ \Rightarrow h_1 =139.89 meter \\ Again, the balloon\text{'}s height at 10.02 am, \tan \theta = \frac{AC}{BC} = \frac{h_2}{300} \\ \Rightarrow \tan 60° =\frac{h_2}{300} \\ \Rightarrow h_2 = 300 \times \tan 60° \\ \Rightarrow h_2 = \left(300 \times \sqrt{3}\right)m \\ \Rightarrow h_2 =\left(300 \times 1.732\right)meter \\ \therefore h_2 =519.615 meter \\ \therefore The difference of height = 519.615 - 139.89 = 379.725 meter \\ Taken time to cover this dis\tan ce by the balloon = 10.02 - 10.00 \\ = 2 minutes = 120 seconds \\ We know, velocity, \frac{Dis\tan ce}{Time} \\ \Rightarrow Velocity = \frac{379.725}{120} m{s}^{-1} \\ \therefore Velocity= 3.1643 m{s}^{-1} \\ \therefore Upward speed of balloon is 3.1643 m{s}^{-1} \end{gathered}$$