EF সরলরেখা AB ও CD সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়কে G ও H বিন্দুতে ছেদ করে।

বর্ণনা অনুযায়ী চিত্রটি নিম্নরূপ:

চিত্রে, EF সরলরেখা AB ও CD সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়কে G ও H বিন্দুতে ছেদ করে।

∠EGB = ∠EHD [অনুরূপ কোণ]

এবং ∠AGH = ∠GHD [একান্তর কোণ]

মনে করি, EF সরলরেখা AB ও CD সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়কে G ও H বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে,

(i) ∠AGH = একান্তর ∠EHD;
(ii) ∠EGB = অনুরূপ ∠EHD

প্রমাণ:

ধাপ ১: (i) যদি ∠AGH, ∠EHD এর সমান না হয়, তবে মনে করি, ∠KGH = ∠EHD এরা একান্তর কোণ বিধায় KG এবং CD সমান্তরাল।

ধাপ ২: কিন্তু AB এবং CD অথবা AG এবং CD সমান্তরাল বলে স্বীকার করে নেওয়া হয়েছে।

ধাপ ৩: AG এবং KG পরস্পরকে ছেদ করা সত্ত্বেও প্রত্যেকেই CD এর সমান্তরাল।

ধাপ ৪: সুতরাং ∠AGH এবং ∠EHD অসমান নয়।

অর্থাৎ ∠AGH = ∠EHD (প্রমাণিত)

(ii) ∠EGB = বিপ্রতীপ ∠AGH

এবং ∠AGH = একান্তর ∠EHD

∠EGB = ∠EHD. (প্রমাণিত)

মনে করি, EF সরলরেখা AB ও CD সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়কে G ও H বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং ∠AGH এবং ∠EHD একান্তর কোণ। KG, ∠AGH এবং HL, ∠EHD এর সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, KG || HL.

প্রমাণ :

ধাপ ১ : KG, ∠AGH এর সমদ্বিখণ্ডক।

$\therefore$ ∠KGH = $\frac{1}{2}$ ∠AGH

ধাপ ২: আবার, HI , ∠GHD এর সমদ্বিখণ্ডক।

$\therefore$ ∠GHL= $\frac{1}{2}$ ∠ GHD

ধাপ ৩: ∠AGH = ∠EHD [একান্তর কোণ]

বা, ∠AGH = $\frac{1}{2}$ ∠EHD

ধাপ ৪ : ∠KGH = ∠GHL [একান্তর কোণ]

$\therefore$ KG || HL. (দেখানো হলো)