g(x) = ln(y) হলে, g(x) এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।

(প্রয়োগ)

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো,

\[y^{y\sqrt{y}} = (y\sqrt{y})^y\]

আমরা জানি, \(\sqrt{y} = y^{1/2}\) ।

অতএব, \(y\sqrt{y} = y \cdot y^{1/2} = y^{1 + 1/2} = y^{3/2}\)

এখন সমীকরণে \(y\sqrt{y}\) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

\[y^{y^{3/2}} = (y^{3/2})^y\]

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, \((a^m)^n = a^{mn}\) হয়।

সুতরাং, সমীকরণের ডানপক্ষ হবে: \((y^{3/2})^y = y^{(3/2) \cdot y}\)

তাহলে, সমীকরণটি দাঁড়ায়,

\[y^{y^{3/2}} = y^{(3/2)y}\]

যদি দুটি সূচকীয় রাশির ভিত্তি (base) সমান হয়, তবে তাদের সূচক (exponent) ও সমান হবে।

অর্থাৎ,

\[y^{3/2} = \frac{3}{2}y\]

এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য দুটি সম্ভাব্য ক্ষেত্র বিবেচনা করতে হবে:

ক্ষেত্র ১: যখন \(y=1\)

মূল সমীকরণে \(y=1\) বসিয়ে পরীক্ষা করি:

\[1^{1\sqrt{1}} = (1\sqrt{1})^1\]

\[1^1 = 1^1\]

\[1 = 1\]

যেহেতু উভয়পক্ষ সমান, সুতরাং \(y=1\) একটি সমাধান।

ক্ষেত্র ২: যখন \(y \neq 0\) এবং \(y \neq 1\)

\[y^{3/2} = \frac{3}{2}y\]

উভয়পক্ষকে \(y\) দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু \(y \neq 0\)):

\[\frac{y^{3/2}}{y} = \frac{3}{2}\]

\[y^{(3/2) - 1} = \frac{3}{2}\]

\[y^{1/2} = \frac{3}{2}\]

\[\sqrt{y} = \frac{3}{2}\]

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

\[(\sqrt{y})^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2\]

\[y = \frac{9}{4}\]

সুতরাং, \(y = \frac{9}{4}\) ও একটি সমাধান।

অতএব, \(y\) এর সম্ভাব্য মানসমূহ হলো \(1\) এবং \(\frac{9}{4}\)।