$i) M=\sqrt[3]{5^2} +\sqrt[3]{5^{-2}}$

$ii) 18 + 198+1998 + ........$ একটি ধারা।

x চলকের বহুপদীকে সাধারণত x এর ঘাতের অধঃক্রমের (অর্থাৎ মূখ্যপদ থেকে শুরু করে ক্রমে ধ্রুব পদ পর্যন্ত) বর্ণনা করা হয়। এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শরূপ বলা হয়। যেমন: $a{x}^2+bx+c$

দেওয়া আছে, $M=\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5^{-2}}$

এখন, $M=p^2-2$

$p^2-2=\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5^{-2}}$

বা, $p^2={\left(5^2\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(5^{-2}\right)}^{{}^{\frac{1}{3}}}+2$

বা, $p^2=5^{\frac{2}{3}}+5^{{}^{\frac{2}{-3}}}+2$

বা, $p^2={\left(5^{\frac{1}{3}}\right)}^2+{\left(5^{{}^{\frac{1}{-3}}}\right)}^2+2.5^{\frac{1}{3}}.5^{\frac{1}{-3}} \left[\because 5^{\frac{1}{3}}.5^{\frac{1}{-3}}=5^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} =5^0=1\right]$

বা, $p^2={\left(5^{\frac{1}{3}}+5^{{}^{\frac{1}{-3}}}\right)}^2$

বা, $p=5^{\frac{1}{3}}+5^{{}^{\frac{1}{-3}}}$

বা, $p^3={\left(5^{\frac{1}{3}}+5^{{}^{\frac{1}{-3}}}\right)}^3$

বা, $p^3={\left(5^{\frac{1}{3}}\right)}^3+{\left(5^{{}^{\frac{1}{-3}}}\right)}^3+3.5^{\frac{1}{3}} .5^{{}^{\frac{1}{-3}}} \left( 5^{\frac{1}{3}}+5^{{}^{\frac{1}{-3}}}\right)$

বা, $p^3=5+5^{-1}+3.1.p$

বা, $p^3=5+\frac{1}{5}+3p$

বা, $p^3=\frac{26}{5}+3p$

বা, $p^3-3p-\frac{26}{5}=0$

বা, $5p^3-15p-26=0$

$\left(5p^2-15\right)p=26$ (দেখানো হলো)

প্রদত্ত ধারা: 18+198+1998 +…………..

ধারাটির প্রথম n-সংখ্যক পদের সমস্টি

$=18+198+1998+ ............+n$তম পদ

$= 2(9+99 +999 + ...... + n$তম পদ

$= 2\left\{\right(10-1)+(100-1)+(1000-1)+..........+n$তম পদ)}

$=2 \{10-1)+({10}^2-1)+({10}^3-1)+......+n$তম পদ)}

$=2\left\{\right(10+10+10+...+n$ তম পদ) -$(1+1+1 + ...... + n$তম পদ)}

$=2\left\{\frac{10.\left({10}^n-1\right) }{10-1}-n\right\}$

$=2\left\{\frac{10.\left({10}^n-1\right) }{9}-n\right\}$

$=\frac{20}{9}\left({10}^n-1\right) -2n$

নির্ণেয় ধারাটির প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি: $\frac{20}{9}\left({10}^n-1\right) -2n$