(i) নং ধারার (p + q) সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অন্তর \(d\)।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার \(n\) তম পদ, \(T_n = a + (n-1)d\)।

প্রশ্নমতে,

\(T_p = a + (p-1)d = q^2 \quad \ldots (1)\)

\(T_q = a + (q-1)d = p^2 \quad \ldots (2)\)

(1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

\( (a + (p-1)d) - (a + (q-1)d) = q^2 - p^2 \)

\( (p-1)d - (q-1)d = q^2 - p^2 \)

\( d(p-1-q+1) = (q-p)(q+p) \)

\( d(p-q) = -(p-q)(p+q) \)

যদি \(p \neq q\) হয়, তাহলে \(p-q\) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\( d = -(p+q) \)

\(d\) এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\( a + (p-1)(-(p+q)) = q^2 \)

\( a - (p-1)(p+q) = q^2 \)

\( a = q^2 + (p-1)(p+q) \)

\( a = q^2 + p^2 + pq - p - q \)

\( a = p^2 + q^2 + pq - p - q \)

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম \(n\) সংখ্যক পদের সমষ্টি, \(S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}\)।

এখানে, পদসংখ্যা \(n = (p+q)\)।

তাহলে, \(p+q\) সংখ্যক পদের সমষ্টি,

\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \{2a + (p+q-1)d\} \)

\(a\) ও \(d\) এর মান বসিয়ে পাই,

\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \{2(p^2 + q^2 + pq - p - q) + (p+q-1)(-(p+q))\} \)

\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \{2p^2 + 2q^2 + 2pq - 2p - 2q - (p+q-1)(p+q)\} \)

\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \{2p^2 + 2q^2 + 2pq - 2p - 2q - ((p+q)^2 - (p+q))\} \)

\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \{2p^2 + 2q^2 + 2pq - 2p - 2q - (p^2 + 2pq + q^2 - p - q)\} \)

\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \{2p^2 + 2q^2 + 2pq - 2p - 2q - p^2 - 2pq - q^2 + p + q\} \)

\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \{(2p^2 - p^2) + (2q^2 - q^2) + (2pq - 2pq) + (-2p + p) + (-2q + q)\} \)

\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \{p^2 + q^2 - p - q\} \)

সুতরাং, (i) নং ধারার \((p+q)\) সংখ্যক পদের সমষ্টি হলো \( \frac{p+q}{2} (p^2 + q^2 - p - q) \)।