(ii) নং উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে, ধারাটির প্রথম 10 টি পদের সমষ্টি $\frac{781}{24\left(2\sqrt{3}-3\right)}$

প্রদত্ত ধারাটি হলো: 7+10+13+16+.......

এখানে, প্রথম পদ, \(a = 7\)

সাধারণ অন্তর, \(d = 10 - 7 = 3\)

ধরি, ধারাটির n-তম পদ \(T_n = 160\)

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n-তম পদের সূত্র, \(T_n = a + (n-1)d\)

প্রশ্নমতে,

\(a + (n-1)d = 160\)

\(7 + (n-1)3 = 160\)

\((n-1)3 = 160 - 7\)

\((n-1)3 = 153\)

\(n-1 = \frac{153}{3}\)

\(n-1 = 51\)

\(n = 51 + 1\)

\(n = 52\)

সুতরাং, ধারাটির 52-তম পদ 160।

ধরি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অন্তর \(d\)। আমরা জানি, সমান্তর ধারার \(n\) তম পদ হলো \(a + (n-1)d\)। উদ্দীপকে উল্লিখিত তথ্য অনুযায়ী, ধারাটির \(p\) তম পদ \(q^2\) এবং \(q\) তম পদ \(p^2\)। সুতরাং, আমরা দুটি সমীকরণ গঠন করতে পারি:

\[a + (p-1)d = q^2 \quad \ldots (i)\] \[a + (q-1)d = p^2 \quad \ldots (ii)\] এখন, সমীকরণ \((i)\) থেকে সমীকরণ \((ii)\) বিয়োগ করে পাই: \[(a + (p-1)d) - (a + (q-1)d) = q^2 - p^2\] \[(p-1-q+1)d = -(p^2 - q^2)\] \[(p-q)d = -(p-q)(p+q)\] যেহেতু \(p \neq q\), উভয় পক্ষকে \((p-q)\) দ্বারা ভাগ করে পাই, \[d = -(p+q)\] এখন, \(d\) এর মান সমীকরণ \((i)\) এ বসিয়ে পাই: \[a + (p-1)(-(p+q)) = q^2\] \[a - (p-1)(p+q) = q^2\] \[a = q^2 + (p-1)(p+q)\] \[a = q^2 + p^2 + pq - p - q\] \[a = p^2 + q^2 + pq - p - q\]

সুতরাং, ধারাটির প্রথম পদ \(a = p^2 + q^2 + pq - p - q\) এবং সাধারণ অন্তর \(d = -(p+q)\)। এখন, সমান্তর ধারাটির \((p-1+q)\) তম পদ নির্ণয় করতে হবে। \((p-1+q)\) তম পদ \[= a + ((p-1+q)-1)d\] \[= a + (p+q-2)d\] \(a\) ও \(d\) এর মান বসিয়ে পাই: \[= (p^2 + q^2 + pq - p - q) + (p+q-2)(-(p+q))\] \[= p^2 + q^2 + pq - p - q - (p+q)(p+q-2)\] \[= p^2 + q^2 + pq - p - q - ((p+q)^2 - 2(p+q))\] \[= p^2 + q^2 + pq - p - q - (p^2 + 2pq + q^2 - 2p - 2q)\] \[= p^2 + q^2 + pq - p - q - p^2 - 2pq - q^2 + 2p + 2q\] \[= (p^2 - p^2) + (q^2 - q^2) + (pq - 2pq) + (-p + 2p) + (-q + 2q)\] \[= 0 + 0 - pq + p + q\] \[= p + q - pq\] অতএব, সমান্তর ধারাটির \((p-1+q)\) তম পদ হলো \(p + q - pq\)।

সমান্তর ধারার প্রথম পদ \( a = 3 \) এবং সাধারণ অন্তর \( d = 4 \) দেয়া আছে।

সমান্তর ধারার প্রথম \( n \) পদসমূহের সমষ্টি (\( S_n \)) নিম্নরূপ নির্ণয় করা হয়:

\[
S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n-1)d)
\]

এখন, \( S_n = 903 \), \( a = 3 \), এবং \( d = 4 \) কে যুক্ত করে আমাদের সমীকরণ হবে:

\[
903 = \frac{n}{2} \times (2 \times 3 + (n-1) \times 4)
\]

এখন এই সমীকরণটি সহজ করা যাক:

\[
903 = \frac{n}{2} \times (6 + 4n - 4)
\]
\[
903 = \frac{n}{2} \times (4n + 2)
\]
\[
903 = \frac{n}{2} \times 2(2n + 1)
\]
\[
903 = n(2n + 1)
\]

এখন উভয়পাশে \( 903 \) কে সমাধান করতে পারি:

\[
2n^2 + n - 903 = 0
\]

এখন আমরা কোয়াড্রাটিক সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করব:

\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

এখানে, \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -903 \)।

প্রথমে ডিস্ক্রিমিনেন্ট (\( D \)) বের করি:

\[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 2 \times (-903) = 1 + 7212 = 7213
\]

এখন \( n \) এর মান বের করি:

\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{7213}}{4}
\]

\( \sqrt{7213} \) এর মান বের করি:

\[
\sqrt{7213} \approx 84.9 \text{ (প্রায়)}
\]

তাহলে,

\[
n = \frac{-1 \pm 84.9}{4}
\]

এখন দুইটি সম্ভাব্য মান বের করতে পারিঃ

1. \( n = \frac{-1 + 84.9}{4} \approx \frac{83.9}{4} \approx 20.975 \)
2. \( n = \frac{-1 - 84.9}{4} \) (এইটি নেতিবাচক হবে, তাই গর্হিত)

সুতরাং, \( n \) কে গাণিতিকভাবে গুণগত হিসেবে নিখুঁত সংখ্যা হিসাবে নিতে হবে, যা 21।

অতএব, \( n \) এর মান হল:

\[
\boxed{21}
\]