(ii) নং ধারাটির ১ম 10টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

একটি গুণোত্তর ধারার (Geometric Progression) ১ম পদ \(a\) এবং সাধারণ অনুপাত (common ratio) \(r\) হলে, এর \(n\)-তম পদ হয় \(ar^{n-1}\)। উদ্দীপকের (ii) নং ধারা অনুযায়ী, ৩য় পদ \(ar^{3-1} = ar^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\) এবং ৮ম পদ \(ar^{8-1} = ar^7 = \frac{4\sqrt{2}}{27}\)। এই দুটি সমীকরণ ব্যবহার করে আমরা ধারাটির প্রথম পদ এবং সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করতে পারি।

প্রদত্ত শর্তানুযায়ী,

\(ar^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\) ... (i)

\(ar^7 = \frac{4\sqrt{2}}{27}\) ... (ii)

সমীকরণ (ii) কে সমীকরণ (i) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(\frac{ar^7}{ar^2} = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{27}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)

\(r^5 = \frac{4\sqrt{2}}{27} \times \sqrt{3}\)

\(r^5 = \frac{2^2 \cdot 2^{1/2}}{3^3} \cdot 3^{1/2}\)

\(r^5 = 2^{5/2} \cdot 3^{-3+1/2}\)

\(r^5 = 2^{5/2} \cdot 3^{-5/2}\)

\(r^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^{5/2}\)

\(r = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{5/2}\right)^{1/5}\)

\(r = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{2}{3}}\)

এখন, \(r\) এর মান সমীকরণ (i) তে বসিয়ে \(a\) এর মান নির্ণয় করি:

\(a \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(a \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(a = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

গুণোত্তর ধারার ১ম \(n\) সংখ্যক পদের সমষ্টি \(S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\) (যখন \(|r| < 1\))। যেহেতু \(r = \sqrt{\frac{2}{3}} < 1\), আমরা এই সূত্র ব্যবহার করব। এখানে \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(r = \sqrt{\frac{2}{3}}\) এবং \(n = 10\)।

\(S_{10} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \left(1 - \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{10}\right)}{1 - \sqrt{\frac{2}{3}}}\)

\(S_{10} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^5\right)}{1 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)

\(S_{10} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \left(1 - \frac{32}{243}\right)}{\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)

\(S_{10} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{243-32}{243}\right)}{\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)

\(S_{10} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{211}{243}}{\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)

\(S_{10} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{211}{243} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\)

\(S_{10} = \frac{3 \cdot 211}{2 \cdot 243 (\sqrt{3} - \sqrt{2})}\)

\(S_{10} = \frac{633}{486 (\sqrt{3} - \sqrt{2})}\)

হরকে মূলদ করার জন্য \((\sqrt{3} + \sqrt{2})\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\(S_{10} = \frac{633 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{486 (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}\)

\(S_{10} = \frac{633 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{486 (3-2)}\)

\(S_{10} = \frac{633 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{486}\)

৬৩৩ এবং ৪৮৬ কে ৩ দ্বারা ভাগ করে:

\(S_{10} = \frac{211 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{162}\)

অতএব, (ii) নং ধারাটির ১ম ১০টি পদের সমষ্টি \(\frac{211 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{162}\)।