LMNOP একটি সুষম পঞ্চভুজ। LN এবং LO এর দুটি কর্ণ। প্রমাণ করুনে যে,  LN=LO.

সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল

সুষম বহুভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান। আবার কোণগুলোও সমান। n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের কেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করলে n সংখ্যক সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।

সুতরাং বহুভুজের ক্ষেত্রফল = n× একটি ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

ABCDEF . . . একটি সুষম বহুভুজ, যার কেন্দ্র O, বাহু n সংখ্যক এবং প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a । O, A; O, B যোগ করি।

ধরি △AOB এর উচ্চতা ON = h এবং △OAB = θ সুষম বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষে উৎপন্ন কোণের পরিমান = 2θ

$\therefore$ সুষম বহুভুজের n সংখ্যক শীর্ষ কোণের সমষ্টি = 2θm

সুষম বহুভুজের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের পরিমান = 4 সমকোণ

$\therefore$ কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ ও n শীর্ষ কোণের সমষ্টি (20n + 4) সমকোণ।

△OAB এর তিন কোণের সমষ্টি = 2 সমকোণ

$\therefore$ এরূপ n সংখ্যক ত্রিভুজের কোণগুলোর সমষ্টি 2n, সমকোণ

$\therefore$ 20 · n + 4 সমকোণ = 2n সমকোণ

বা, 20 · n = (2n – 4) সমকোণ

উদাহরণ ১৫. একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, সুষম পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 সে.মি.। বাহুর সংখ্যা n = 5

উদাহরণ ১৬. একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 4 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো। ফলে 6 টি সমান ক্ষেত্রবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।