m এর মান কত হলে $\overrightarrow{P} ও \overrightarrow{Q}$ পরস্পর লম্ব হবে? যেখানে $P=4\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k};$  $Q=6\hat{i}+5\hat{j}+m\hat{k}.$

ভেক্টর রাশির যোগের সামন্তরিক সূত্র (Parallelogram Law of Vector Addition)

যদি একটি সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা কোন কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরের মান ও দিক নির্দেশ করা হয়, তবে ওই বাহু দুটির ছেদবিন্দু থেকে অঙ্কিত সামন্তরিকের কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করবে।

লব্ধির মান (Magnitude of Resultant)

ধরা যাক, দুটি ভেক্টর \(\vec{P}\) এবং \(\vec{Q}\) একটি কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়াশীল। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)। ভেক্টর যোগের সামন্তরিক সূত্রানুযায়ী, এই ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি \(\vec{R}\) এর মান ও দিক নির্ণয় করতে হবে।

মনে করি, \(OA\) বাহু দ্বারা ভেক্টর \(\vec{P}\) এবং \(OB\) বাহু দ্বারা ভেক্টর \(\vec{Q}\) এর মান ও দিক নির্দেশ করা হলো। \(OA\) ও \(OB\) কে সন্নিহিত বাহু ধরে \(OACB\) সামন্তরিকটি অঙ্কন করা হলো। সামন্তরিকের \(O\) বিন্দু থেকে অঙ্কিত কর্ণ \(OC\) ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি \(\vec{R}\) এর মান ও দিক নির্দেশ করবে।

\(A\) বিন্দু থেকে \(OC\) এর উপর \(CD\) লম্ব অঙ্কন করা হলো এবং \(OA\) কে \(D\) পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ \(ACD\) থেকে পাই:

\(AD = AC \cos(\angle CAD)\)

যেহেতু \(OB\) এবং \(AC\) সমান্তরাল এবং \(OA\) ও \(AD\) একই সরলরেখায় অবস্থিত, \(\angle AOB = \alpha\), তাই \(\angle CAD = \angle AOB = \alpha\)।

সুতরাং, \(AD = Q \cos \alpha\)

এবং \(CD = AC \sin \alpha = Q \sin \alpha\)

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ \(OCD\) থেকে পাই (পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে):

\(OC^2 = OD^2 + CD^2\)

\(OC^2 = (OA + AD)^2 + CD^2\)

মান বসিয়ে পাই:

\(R^2 = (P + Q \cos \alpha)^2 + (Q \sin \alpha)^2\)

\(R^2 = P^2 + 2PQ \cos \alpha + Q^2 \cos^2 \alpha + Q^2 \sin^2 \alpha\)

\(R^2 = P^2 + 2PQ \cos \alpha + Q^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)\)

যেহেতু \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\), সুতরাং,

\(R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha\)

লব্ধির মান,

\[R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha}\]

লব্ধির দিক (Direction of Resultant)

লব্ধি \(\vec{R}\) ভেক্টর \(\vec{P}\) এর সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।

সমকোণী ত্রিভুজ \(OCD\) থেকে পাই:

\(\tan \theta = \frac{CD}{OD}\)

\(\tan \theta = \frac{CD}{OA + AD}\)

পূর্বের প্রাপ্ত \(CD\) এবং \(AD\) এর মান বসিয়ে পাই:

\[\tan \theta = \frac{Q \sin \alpha}{P + Q \cos \alpha}\]

এটি লব্ধি ভেক্টরের দিকের রাশিমালা।