M, PD এর উপর যে কোনো বিন্দু হলে প্রমাণ কর যে, QM² - RM² = PQ² - PR²

(কঠিনমান)

মনে করি, PQD সমকোণী ত্রিভুজে ∠D = 90° এবং অতিভুজ
PQ = c, PD = a এবং QD = b;

প্রমাণ করতে হবে যে, PQ² = PD² + QD² অর্থাৎ c² = a² + b²

অঙ্কন: D থেকে PQ এর উপর DE লম্ব আঁকি। PQ অতিভুজে E বিন্দুতে d ও e অংশে বিভক্ত হলো।

প্রমাণ:

(১) ΔDEQ ও ΔPDQ-এ
∠QED = ∠PDQ এবং ∠DQE = ∠DQP
ΔDEQ ও ΔPDQ সদৃশ
∴ $\frac{QD}{PQ}=\frac{QE}{QD}$
∴ $\frac{b}{c}=\frac{d}{b}$ ...... (i)
[∵ Q সমান কোণ, ∠Q সাধারণ কোণ, উভয় কোণ সমকোণী]

(২) একইভাবে ΔPDE ও ΔPDQ সদৃশ
∴ $\frac{a}{c}=\frac{c}{a}$ ...... (ii)

(৩) অনুপাতে দু'টি থেকে পাই, [উভয় কোণ সমকোণী]
a² = e × c, b² = c × d
∴ a² + b² = c × e + c × d {∠P সাধারণ কোণ }
= c(e + d) = c × c = c²
বা, a² + b² = c²
∴ PQ² = PD² + DQ² (প্রমাণিত)
[∵ c = e + d]