∠MLN+∠NLK = 90° হলে, প্রমাণ কর যে, M, O এবং K একই সরল-রেখায় অবস্থিত।

উদ্দীপকে উল্লিখিত O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে KLMN একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। প্রশ্নানুসারে, \( \angle MLN + \angle NLK = 90^\circ \) হলে প্রমাণ করতে হবে যে, M, O এবং K একই সরল-রেখায় অবস্থিত। এটি বৃত্ত সম্পর্কিত জ্যামিতির একটি উচ্চতর দক্ষতা স্তরের প্রমাণমূলক সমস্যা।

প্রদত্ত শর্তানুযায়ী, \( \angle MLN + \angle NLK = 90^\circ \)। চিত্রের দিকে লক্ষ্য করলে দেখা যায়, \( \angle MLN \) এবং \( \angle NLK \) কোণ দুটি একত্রিত হয়ে \( \angle MLK \) কোণটি তৈরি করে। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি \( \angle MLK = \angle MLN + \angle NLK \)। এই প্রতিস্থাপন থেকে আমরা পাই \( \angle MLK = 90^\circ \)। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ কারণ এটি প্রমাণকে পরবর্তী ধাপে নিয়ে যায়।

আমরা জানি যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ হয়। এর বিপরীত উপপাদ্যটিও সত্য: যদি কোনো বৃত্তের পরিধিস্থ কোনো কোণ এক সমকোণ হয়, তবে সেই কোণটি যে চাপের উপর দণ্ডায়মান, সেই চাপ একটি অর্ধবৃত্ত এবং কোণটির সম্মুখস্থ জ্যাটি বৃত্তের ব্যাস হয়। এখানে, \( \angle MLK \) একটি পরিধিস্থ কোণ যা MK জ্যা দ্বারা পরিধির L বিন্দুতে উৎপন্ন হয়েছে এবং এর মান \( 90^\circ \)। সুতরাং, এই উপপাদ্য অনুসারে, MK জ্যাটি অবশ্যই বৃত্তের ব্যাস হবে।

যেহেতু MK বৃত্তের একটি ব্যাস এবং O বৃত্তের কেন্দ্র, তাই বৃত্তের ব্যাসের সংজ্ঞা অনুযায়ী ব্যাস সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে। অতএব, ব্যাস MK অবশ্যই কেন্দ্র O বিন্দুগামী হবে। এর অর্থ হলো, M, O এবং K বিন্দু তিনটি একই সরল-রেখায় অবস্থিত। এর মাধ্যমে উদ্দীপকের শর্ত ব্যবহার করে গাণিতিক যুক্তি ও জ্যামিতিক উপপাদ্যের সাহায্যে প্রদত্ত বক্তব্যটি প্রমাণিত হলো।