$n\in N$ এর জন্য $x = 2n-1$ এবং $R=\{(x,y):x\in A,y\in A$ এবং $x+y=1\}$ যেখানে $A=(-2,-1,0,1,2\}$

f(-⅓) = {2*(-⅓)-1}/ {2*(-⅓)+1}

={(-⅔)-1}/{(-⅔)+1}

={(-2-3)/3}/{(-2+3)/3}

=(-5/3)/(⅓)

= (-5/3)*(3/1)

=-5

প্রদত্ত অন্বয় S কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ এবং এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করা হলো:

প্রথমে, সেট A কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করি:

দেওয়া আছে,

\(A = \{x \in Z : x^2 \leq 9\}\)

যে সকল পূর্ণসংখ্যা \(x\) এর জন্য \(x^2 \leq 9\) হয়, সে সকল সংখ্যা হলো:

\(x^2 \leq 9\)

\(\Rightarrow -3 \leq x \leq 3\)

সুতরাং, \(A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\)

এখন, অন্বয় S এর উপাদানসমূহ নির্ণয় করি:

দেওয়া আছে,

\(S = \{(x, y) : x \in N, y \in A \text{ এবং } y = 2x+3\}\)

এখানে, \(x\) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা অর্থাৎ \(x \in N = \{1, 2, 3, \dots\}\)

এবং \(y \in A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\)

সম্পর্কটি হলো \(y = 2x+3\)

এই সম্পর্ক থেকে \(x\) এর মান বের করি: \(2x = y-3 \Rightarrow x = \frac{y-3}{2}\)

এখন, \(y \in A\) এর বিভিন্ন মানের জন্য \(x\) এর মান নির্ণয় করি এবং দেখি কোনটি \(x \in N\) শর্ত পূরণ করে:

    
• যদি \(y = -3\), তখন \(x = \frac{-3-3}{2} = \frac{-6}{2} = -3\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = -2\), তখন \(x = \frac{-2-3}{2} = \frac{-5}{2}\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = -1\), তখন \(x = \frac{-1-3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = 0\), তখন \(x = \frac{0-3}{2} = \frac{-3}{2}\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = 1\), তখন \(x = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = 2\), তখন \(x = \frac{2-3}{2} = \frac{-1}{2}\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = 3\), তখন \(x = \frac{3-3}{2} = \frac{0}{2} = 0\). এটি N এর সদস্য নয় (কারণ প্রাকৃতিক সংখ্যা \(N = \{1, 2, 3, \dots\}\))।

যেহেতু, \(x \in N\) শর্ত অনুযায়ী \(x\) এর কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা মান পাওয়া যায় না যা \(y \in A\) শর্তকেও পূরণ করে, তাই অন্বয় S এ কোনো ক্রমজোড় থাকবে না।

অন্বয় S কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ:

\(S = \emptyset\)

অন্বয় S এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়:

যেহেতু S একটি ফাঁকা সেট, এর ডোমেনও ফাঁকা সেট হবে।

Dom S \( = \emptyset\)

যেহেতু S একটি ফাঁকা সেট, এর রেঞ্জও ফাঁকা সেট হবে।

Ran S \( = \emptyset\)

দেওয়া আছে:
\(A = 2, B = 3, C = 5\) এবং \(D = 7\)

প্রদত্ত রাশি:
\(\frac{A^{2x+1} \cdot B^{2x+y} \cdot C^{x+y} \cdot (AB)^x}{B^{x-2} \cdot (AB)^{2x+2} \cdot (AC)^x \cdot (BC)^y}\)

মান বসিয়ে পাই:
\(= \frac{2^{2x+1} \cdot 3^{2x+y} \cdot 5^{x+y} \cdot (2 \cdot 3)^x}{3^{x-2} \cdot (2 \cdot 3)^{2x+2} \cdot (2 \cdot 5)^x \cdot (3 \cdot 5)^y}\)

\(= \frac{2^{2x+1} \cdot 3^{2x+y} \cdot 5^{x+y} \cdot 2^x \cdot 3^x}{3^{x-2} \cdot 2^{2x+2} \cdot 3^{2x+2} \cdot 2^x \cdot 5^x \cdot 3^y \cdot 5^y}\)

\(= \frac{2^{2x+1+x} \cdot 3^{2x+y+x} \cdot 5^{x+y}}{2^{2x+2+x} \cdot 3^{x-2+2x+2+y} \cdot 5^{x+y}}\)

\(= \frac{2^{3x+1} \cdot 3^{3x+y} \cdot 5^{x+y}}{2^{3x+2} \cdot 3^{3x+y} \cdot 5^{x+y}}\)

\(= 2^{(3x+1) - (3x+2)} \cdot 3^{(3x+y) - (3x+y)} \cdot 5^{(x+y) - (x+y)}\)

\(= 2^{3x+1 - 3x - 2} \cdot 3^0 \cdot 5^0\)

\(= 2^{-1} \cdot 1 \cdot 1\)

\(= \frac{1}{2}\)

নির্ণেয় মান: \(\frac{1}{2}\)