O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা PQ =x সে.মি. এবং OR $\perp$ PQ.

এখানে, ∠OQP = 30°

অর্ধবৃত্তস্থ কোন বলে ∠PQS = 90°

∠OQS = 90° - ∠OQP

= 90°-30° = 60°

আবার, OP=OQ = OS [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধী]

∠OSQ = ∠OQS = 60° [সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ]

∠ QOS = 180°-(∠OQS+∠OSQ)

= 180°-(60°+60°)

= 180°-120° = 60°

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQS একটি বৃত্ত। PS ব্যাস বৃত্তটির ০ কেন্দ্রগামী জ্যা এবং PQ ও QS ব্যাসভিন্ন দুইটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, PS > PQ এবং PS > QS অর্থাৎ PS জ্যা বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা।

অঙ্কন: O, P; O, Q এবং O, S যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. OP = OS = OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

এখন, △ POQ-এ OP + OQ > PQ [ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর ]

বা, OP + OS > PQ

অর্থাৎ, PS > PQ

ধাপ ২. আবার, △ OQS-এ

OQ + OS > QS [ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর ]

বা, OP + OS > QS

অর্থাৎ, PS > QS

$\therefore$ PS জ্যা, PQ ও QS প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর ।

সুতরাং, PS জ্যা বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

এখানে, $OR = \frac{x}{2}- 2$

$QR = \frac{1}{2} PQ = \frac{1}{2} x$ সে.মি.

এখন, ORQ সমকোণী ত্রিভুজে, $\tan 30° = \frac{OR}{QR}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{{\displaystyle \frac{x}{2}}- 2}{{\displaystyle \frac{x}{2}}}$

বা, $\frac{x}{2 }- 2 = \frac{x}{2\sqrt{3}}$

বা, $\frac{x}{2}- \frac{x}{2\sqrt{3}}= 2$

বা, $x - \frac{x}{\sqrt{3}}= 4$

বা, $\left(\sqrt{3}- 1\right) x= 4\sqrt{3}$

বা, $x=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}- 1}$

বা, $x=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{4\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1}=\frac{4\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{3 -1}$

$= 2\sqrt{3} \left(\sqrt{3}+ 1 \right)= 6 + 2\sqrt{3}$

নির্ণেয় মান : x = $6 + 2\sqrt{3}$