O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত এবং AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর E বিন্দুতে ছেদ করেছে।

চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্ণদ্বয় 'পরস্পর E বিন্দুতেছেদ করেছে।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC+ ∠ADC = 7° সমকোণ। এবং ∠BAD + ∠BCD = দুই সমকোণ।

অঙ্কন: O, A এবং O, C যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. একই চাপ ADC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রম্প ∠AOC = 2 (বৃত্তস্থ ∠ABC) [একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

অর্থাৎ, ∠AOC = 2∠ABC

ধাপ ২. আবার, একই চাপ ABC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2 (বৃত্তস্থ ∠ADC)  [একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2∠ADC

∠AOC + প্রবৃদ্ধ কোণ ∠ AOC = 2(∠ABC + ∠ADC)

কিন্তু ∠AOC + প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 4 সমকোণ

$\therefore$ 2(∠ABC+ ∠ADC) = 4 সমকোণ

$\therefore$ ∠ABC+ ∠ADC = 2 সমকোণ।

একইভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, ∠BAD+ ∠BCD = 2 সমকোণ

$\therefore$ ∠ABC+ ∠ADC = 2 সমকোণ

এবং ∠BAD+ ∠BCD = 2 সমকোণ। (প্রমাণিত)

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর E বিন্দুতে ছেদ করেছে। O, A ; O, B ; O, C এবং O, D যোগ করি।

দেখাতে হবে যে, ∠AOB + ∠COD = 2∠AEΒ.

প্রমাণ:

ধাপ ১. AB চাপের উপর অবস্থিত

∠AOB  =  2∠ADB [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

ধাপ ২. CD চাপের উপর অবস্থিত

∠COD = 2∠DAC [একই কারণে]

ধাপ ৩. ∠AOB + ∠COD = 2(∠ADB + ∠DAC)  [ধাপ (১) ও (২) থেকে]

= 2(∠ADE + ∠DAE)

ধাপ ৪. ADAE এর বহিঃস্থ ∠AEB = অন্তঃস্থ (∠ADE + ∠DAE)

$\therefore$ ∠AOB + ∠COD = 2∠AEB. [ধাপ (৩) থেকে] (দেখানো হলো)