O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে । PT ঐ বৃত্তে একটি স্পর্শক।

চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে এবং বৃত্তের উপরস্থ বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC+ ∠ADC = 7° সমকোণ। এবং ∠BAD + ∠BCD = দুই সমকোণ।

অঙ্কন: O, A এবং O, C যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. একই চাপ ADC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রম্প ∠AOC = 2 (বৃত্তস্থ ∠ABC) [একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

অর্থাৎ, ∠AOC = 2∠ABC

ধাপ ২. আবার, একই চাপ ABC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2 (বৃত্তস্থ ∠ADC)  [একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2∠ADC

∠AOC + প্রবৃদ্ধ কোণ ∠ AOC = 2(∠ABC + ∠ADC)

কিন্তু ∠AOC + প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 4 সমকোণ

$\therefore$ 2(∠ABC+ ∠ADC) = 4 সমকোণ

$\therefore$ ∠ABC+ ∠ADC = 2 সমকোণ।

একইভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, ∠BAD+ ∠BCD = 2 সমকোণ

$\therefore$ ∠ABC+ ∠ADC = 2 সমকোণ

এবং ∠BAD+ ∠BCD = 2 সমকোণ। (প্রমাণিত)

মনে করে, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ওপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।

প্রমাণ করতে হবে যে, PT $\perp$ OP.

অঙ্কন : PT স্পর্শকের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নিই এবং O, Q যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. যেহেতু বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক, সুতরাং ঐ P বিন্দু ব্যতীত PT এর ওপরস্থ অন্য সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকবে। সুতরাং বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।

ধাপ ২. OQ বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ, OQ > OP এবং তা স্পর্শ বিন্দু P ব্যতীত PT এর ওপরস্থ Q বিন্দুর সকল অবস্থানের জন্য সত্য।

$\therefore$ কেন্দ্র O থেকে PT স্পর্শকের ওপর OP হলো ক্ষুদ্রতম দূরত্ব। সুতরাং PT $\perp$ OP. (প্রমাণিত)