O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত এবং PR ও QS কর্ণদ্বয় পরস্পর T বিন্দুতে ছেদ করেছে।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। বৃত্তটিতে CD ব্যাস এবং AB ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা।

প্রমাণ করতে হবে যে, CD > AB.

অঙ্কন: O, A এবং O, B যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC বৃত্তে

OA = OB = OC = OD  [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

ধাপ ২. এখন, △ OAB-এ,

OA + OB > AB [ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, OC + OD > AB  [OA = OC এবং OB = OD]

$\therefore$ CD > AB  [OC + OD = CD] (প্রমাণিত)

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠PQR + ∠PSR = দুই সমকোণ।

অঙ্কন: O, P এবং O, R যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. একই চাপ PQR এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠POR = 2 (বৃত্তস্থ ∠PSR)

অর্থাৎ ∠POR = 2∠PSR [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

ধাপ ২. আবার একই চাপ PSR এর কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠POR = 2(বৃত্তস্থ ∠PQR)

অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠POR = 2 ∠PQR

এখন, ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = 2(∠PSR + ∠PQR)

কিন্তু, ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = চার সমকোণ

$\therefore$ 2(PSR+ ∠PQR) = চার সমকোণ

বা,  ∠PSR + ∠PQR = দুই সমকোণ

অর্থাৎ ∠PQR + ∠PSR = দুই সমকোণ। (প্রমাণিত)

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। PQRS চতুর্ভুজের PR ও QS কর্ণদ্বয় পরস্পর T বিন্দুতে ছেদ করেছে।

দেখাতে হবে যে, ∠POQ + ∠ROS = 2∠PTQ.

অঙ্কন: O, P; O, Q; O, R যোগ করি।

প্রমাণ :

ধাপ ১. PQ চাপের উপর অবস্থিত

∠POQ = 2∠PSQ  [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

ধাপ ২. RS চাপের উপর অবস্থিত ∠ROS = 2∠SPR [একই কারণে]

ধাপ ৩. ∠POQ + ∠ROS = 2(∠ZPSQ + ∠SPR) [ধাপ (১) ও (২) থেকে]

= 2(∠PST + ∠SPT)

ধাপ ৪.  $△$SPT এর বহিঃস্থ ∠PTQ = অন্তঃস্থ (∠PST + ∠SPT)

∠POQ + ∠ROS = 2∠PTQ  [ধাপ (৩) থেকে]  (দেখানো হলো)