O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB ব‍্যাস নয় এমন একটি জ্যা।

বর্ণনা অনুযায়ী বৃত্তটি হলো:

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা এবং কেন্দ্র O থেকে এই জ্যা এর উপর OD লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, OD, AB জ্যা কে D বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ AD = BD।

অঙ্কন: O, A এবং O, B যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. OD $\perp$ AB হওয়ায় ∠ODA = ∠ODB = এক সমকোণ। অতএব, △ODA ও △ODB উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ। [কল্পনা]

ধাপ ২. এখন, △ODA ও △ODB সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে

অতিভুজ OA = অতিভুজ OB [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

এবং OD = OD [সাধারণ বাহু]

△ODA $\equiv$ △ODB

অতএব, AD = BD (প্রমাণিত)

মনে করি, ABC বৃত্তের কেন্দ্র O । AB ও GH দুইটি সমান্তরাল জ্যা। E এবং F যথাক্রমে AB ও GH-এর মধ্যবিন্দু। EF মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা। প্রমাণ করতে হবে যে, EF কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের উপর লম্ব।

অঙ্কন: O, F এবং O, E যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. F, GH এর মধ্যবিন্দু।

$\therefore$ OF $\perp$ GH এবং ∠OFG = এক সমকোণ। [বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দু এবং কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর উপর লম্ব]

ধাপ ২. E, AB এর মধ্যবিন্দু। [একই কারণে]

$\therefore$ OE $\perp$ AB এবং ∠OEA = এক সমকোণ।

ধাপ ৩. ∠OFG = ∠OEA [(১) ও (২) থেকে]

ধাপ ৪. AB || GH [কল্পনা]

$\therefore$ ∠OFG ও ∠OEA অনুরূপ কোণ।

$\therefore$ O, F, E একই সরলরেখায় অবস্থিত।

সুতরাং E ও F বিন্দুর সংযোজক রেখা কেন্দ্র O গামী এবং AB ও GH সমান্তরাল রেখা জ্যাদ্বয়ের উপর লম্ব। (প্রমাণিত)