$p + q=\sqrt{2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\theta$ = 45°

30° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো হলো:

$\sin 30°=\frac{1}{2},$ $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}, \tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$cot 30°=\sqrt{3;}sec30°=\frac{2}{\sqrt{3}}, \cos ec 30°=2$

60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো হলো:

$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}; \cos 60°=\frac{1}{2},\tan 60°=\sqrt{3};$

$cot 60°=\frac{1}{\sqrt{3}}; sec 60°=2; \cos ec 60°=\frac{2}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\tan \theta$=লম্ব/ভূমি

বা, $\tan \theta =$লম্ব/ভূমি  [ ∵ লম্ব ও ভূমি একই]

বা, $\tan \theta = 1$

বা, $\tan \theta = \tan 45°$

$\therefore \theta =45°$

$\therefore \theta =45°$ হলে, সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি একই হবে।

মনে করি, $\angle XOZ = 45°$ এবং  $P, OZ$ এর উপরস্থ একটি বিন্দু $PM \perp OX$ আঁকি। $OPM$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle POM = 45°$

সুতরাং, $\angle OPM = 45°$

অতএব, $PM = OM = a$ (মনে করি)

এখন, $OP² = OM² + PM²$

                         $=a^2+a^2=2a^2$

বা, $OP =\sqrt{2}a$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞা থেকে পাই,

$\sin 45°=\frac{PM}{OP}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\therefore \sin 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$

দেওয়া আছে, $\tan 9x = cot 9x$

বা, $\tan 9x=\frac{1}{\tan 9x} \left[\because cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }\right]$

বা, $ta{n}^2 9x=1$

বা, $\tan 9x = 1$ [বর্গমূল করে]

বা, $\tan 9x = \tan 45 °$

বা, $9x = 45°$

বা, $x=\frac{45°}{9}=5°$

নির্ণেয় মান: $x=5°$

মনে করি, $\angle XOZ = 45°$ এবং P. OZ এর উপরস্থ একটি বিন্দু । $PM \perp OX$ আঁকি।

এখন, OPM সমকোণী ত্রিভুজে, $\angle POM = 45°$

সুতরাং, $\angle OPM =45°$

অতএব, $PM = OM = a$ (মনে করি)

এখন, $OP² = OM² +PM² = a² + a²-2a²$

$\mathrm{वा}$, $OP=\sqrt{2}a$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞা থেকে পাই , $\tan 45°=\frac{PM}{OM}=\frac{a}{a}=1$

নির্ণেয় মান: 1.