উত্তরঃ
দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু:
A\( (8, 6) \)
B\( (-7, -2) \)
এবং অপর একটি বিন্দু P\( (1, 1) \)
ধাপ ১: AB সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়
দুটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করে, \( (x_1, y_1) = (8, 6) \) এবং \( (x_2, y_2) = (-7, -2) \)
\(\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
\(\frac{y - 6}{x - 8} = \frac{-2 - 6}{-7 - 8}\)
\(\frac{y - 6}{x - 8} = \frac{-8}{-15}\)
\(-15(y - 6) = -8(x - 8)\)
\(-15y + 90 = -8x + 64\)
\(8x - 15y + 90 - 64 = 0\)
\(8x - 15y + 26 = 0 \)............ (i)
এটি AB সরলরেখার সমীকরণ।
ধাপ ২: AB রেখার উপর P(1, 1) বিন্দু হতে অঙ্কিত লম্ব PD এর সমীকরণ নির্ণয়
AB রেখার ঢাল \(m_{AB} = -\frac{\text{x এর সহগ}}{\text{y এর সহগ}} = -\frac{8}{-15} = \frac{8}{15}\)
যেহেতু PD রেখা AB রেখার উপর লম্ব, সুতরাং PD রেখার ঢাল \(m_{PD} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{\frac{8}{15}} = -\frac{15}{8}\)
P\( (1, 1) \) বিন্দুগামী এবং \(-\frac{15}{8}\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(y - 1 = -\frac{15}{8}(x - 1)\)
\(8(y - 1) = -15(x - 1)\)
\(8y - 8 = -15x + 15\)
\(15x + 8y - 8 - 15 = 0\)
\(15x + 8y - 23 = 0 \)............ (ii)
এটি PD সরলরেখার সমীকরণ।
ধাপ ৩: লম্বের পাদবিন্দু D এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়
D বিন্দু হলো AB এবং PD রেখার ছেদবিন্দু। সমীকরণ (i) ও (ii) সমাধান করে D এর স্থানাঙ্ক পাওয়া যাবে।
\(8x - 15y = -26 \)............ (i)
\(15x + 8y = 23 \)............ (ii)
(i) নং সমীকরণকে 8 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 15 দ্বারা গুণ করে পাই:
\(64x - 120y = -208\)
\(225x + 120y = 345\)
যোগ করে পাই:
\((64x - 120y) + (225x + 120y) = -208 + 345\)
\(289x = 137\)
\(x = \frac{137}{289}\)
\(x\) এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
\(15\left(\frac{137}{289}\right) + 8y = 23\)
\(\frac{2055}{289} + 8y = 23\)
\(8y = 23 - \frac{2055}{289}\)
\(8y = \frac{23 \times 289 - 2055}{289}\)
\(8y = \frac{6647 - 2055}{289}\)
\(8y = \frac{4592}{289}\)
\(y = \frac{4592}{8 \times 289} = \frac{574}{289}\)
সুতরাং, লম্বের পাদবিন্দু D এর স্থানাঙ্ক হলো \( \left(\frac{137}{289}, \frac{574}{289}\right) \)
ধাপ ৪: PD এর দূরত্ব নির্ণয় এবং প্রমাণ
P\( (1, 1) \) এবং D\( \left(\frac{137}{289}, \frac{574}{289}\right) \) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে পাই:
\(PD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
\(PD = \sqrt{\left(\frac{137}{289} - 1\right)^2 + \left(\frac{574}{289} - 1\right)^2}\)
\(PD = \sqrt{\left(\frac{137 - 289}{289}\right)^2 + \left(\frac{574 - 289}{289}\right)^2}\)
\(PD = \sqrt{\left(\frac{-152}{289}\right)^2 + \left(\frac{285}{289}\right)^2}\)
\(PD = \frac{1}{289} \sqrt{(-152)^2 + (285)^2}\)
\(PD = \frac{1}{289} \sqrt{23104 + 81225}\)
\(PD = \frac{1}{289} \sqrt{104329}\)
আমরা জানি, \(104329 = 289 \times 361 = 17^2 \times 19^2 = (17 \times 19)^2 = 323^2\)
সুতরাং, \(\sqrt{104329} = 323\)
\(PD = \frac{323}{289}\)
ভগ্নাংশটিকে সরল করে পাই:
\(PD = \frac{17 \times 19}{17 \times 17} = \frac{19}{17}\)
সুতরাং, PD = \(\frac{19}{17}\) একক (প্রমাণিত)।
