P(A') নির্ণয় কর।

f(-⅓) = {2*(-⅓)-1}/ {2*(-⅓)+1}

={(-⅔)-1}/{(-⅔)+1}

={(-2-3)/3}/{(-2+3)/3}

=(-5/3)/(⅓)

= (-5/3)*(3/1)

=-5

প্রদত্ত অন্বয় S কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ এবং এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করা হলো:

প্রথমে, সেট A কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করি:

দেওয়া আছে,

\(A = \{x \in Z : x^2 \leq 9\}\)

যে সকল পূর্ণসংখ্যা \(x\) এর জন্য \(x^2 \leq 9\) হয়, সে সকল সংখ্যা হলো:

\(x^2 \leq 9\)

\(\Rightarrow -3 \leq x \leq 3\)

সুতরাং, \(A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\)

এখন, অন্বয় S এর উপাদানসমূহ নির্ণয় করি:

দেওয়া আছে,

\(S = \{(x, y) : x \in N, y \in A \text{ এবং } y = 2x+3\}\)

এখানে, \(x\) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা অর্থাৎ \(x \in N = \{1, 2, 3, \dots\}\)

এবং \(y \in A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\)

সম্পর্কটি হলো \(y = 2x+3\)

এই সম্পর্ক থেকে \(x\) এর মান বের করি: \(2x = y-3 \Rightarrow x = \frac{y-3}{2}\)

এখন, \(y \in A\) এর বিভিন্ন মানের জন্য \(x\) এর মান নির্ণয় করি এবং দেখি কোনটি \(x \in N\) শর্ত পূরণ করে:

    
• যদি \(y = -3\), তখন \(x = \frac{-3-3}{2} = \frac{-6}{2} = -3\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = -2\), তখন \(x = \frac{-2-3}{2} = \frac{-5}{2}\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = -1\), তখন \(x = \frac{-1-3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = 0\), তখন \(x = \frac{0-3}{2} = \frac{-3}{2}\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = 1\), তখন \(x = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = 2\), তখন \(x = \frac{2-3}{2} = \frac{-1}{2}\). এটি N এর সদস্য নয়।
    
• যদি \(y = 3\), তখন \(x = \frac{3-3}{2} = \frac{0}{2} = 0\). এটি N এর সদস্য নয় (কারণ প্রাকৃতিক সংখ্যা \(N = \{1, 2, 3, \dots\}\))।

যেহেতু, \(x \in N\) শর্ত অনুযায়ী \(x\) এর কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা মান পাওয়া যায় না যা \(y \in A\) শর্তকেও পূরণ করে, তাই অন্বয় S এ কোনো ক্রমজোড় থাকবে না।

অন্বয় S কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ:

\(S = \emptyset\)

অন্বয় S এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়:

যেহেতু S একটি ফাঁকা সেট, এর ডোমেনও ফাঁকা সেট হবে।

Dom S \( = \emptyset\)

যেহেতু S একটি ফাঁকা সেট, এর রেঞ্জও ফাঁকা সেট হবে।

Ran S \( = \emptyset\)

ক্রমজোড়ের (Ordered pair) নিয়মানুসারে, যদি \( (a,b) = (c,d) \) হয়, তবে তাদের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি সমান হয়, অর্থাৎ \( a=c \) এবং \( b=d \)।

প্রদত্ত আছে,

\[ S = (cx - dy, cd) = (cd, dx - cy) \]

ক্রমজোড়ের এই শর্তানুসারে, আমরা দুটি সমীকরণ পাই:

১. প্রথম উপাদানগুলি সমান ধরে পাই:

\[ cx - dy = cd \quad \text{.........(i)} \]

২. দ্বিতীয় উপাদানগুলি সমান ধরে পাই:

\[ cd = dx - cy \quad \text{বা,} \quad dx - cy = cd \quad \text{.........(ii)} \]

এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) সমাধান করে \(x\) ও \(y\) এর মান নির্ণয় করব।

সমীকরণ (i) কে \(c\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\[ c(cx - dy) = c(cd) \]

\[ c^2x - cdy = c^2d \quad \text{.........(iii)} \]

সমীকরণ (ii) কে \(d\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\[ d(dx - cy) = d(cd) \]

\[ d^2x - cdy = cd^2 \quad \text{.........(iv)} \]

সমীকরণ (iii) থেকে সমীকরণ (iv) বিয়োগ করে পাই:

\[ (c^2x - cdy) - (d^2x - cdy) = c^2d - cd^2 \]

\[ c^2x - cdy - d^2x + cdy = c^2d - cd^2 \]

\[ c^2x - d^2x = c^2d - cd^2 \]

\[ x(c^2 - d^2) = cd(c - d) \]

\[ x(c - d)(c + d) = cd(c - d) \]

উভয় পক্ষকে \( (c - d) \) দ্বারা ভাগ করে (যেখানে \( c \neq d \) ধরে):

\[ x(c + d) = cd \]

\[ x = \frac{cd}{c + d} \]

এখন, \(x\) এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই:

\[ c\left(\frac{cd}{c + d}\right) - dy = cd \]

\[ \frac{c^2d}{c + d} - dy = cd \]

\[ -dy = cd - \frac{c^2d}{c + d} \]

\[ -dy = \frac{cd(c + d) - c^2d}{c + d} \]

\[ -dy = \frac{c^2d + cd^2 - c^2d}{c + d} \]

\[ -dy = \frac{cd^2}{c + d} \]

উভয় পক্ষকে \(-d\) দ্বারা ভাগ করে (যেখানে \( d \neq 0 \) ধরে):

\[ y = \frac{cd^2}{-(c + d)d} \]

\[ y = \frac{-cd}{c + d} \]

সুতরাং, \(x = \frac{cd}{c + d}\) এবং \(y = \frac{-cd}{c + d}\)।

(এখানে ধরে নেওয়া হয়েছে যে \( c \neq d \), \( c \neq -d \) এবং \( d \neq 0 \) যাতে একটি সুনির্দিষ্ট সমাধান পাওয়া যায়।)

দেওয়া আছে,

\(M = \{x : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \le 6\}\)

অতএব, \(M = \{2, 3, 5\}\)

\(N = \{2, 4, 6\}\)

অন্বয় \(R = \{(x,y) : x \in M, y \in N \text{ এবং } y=2x\}\)

শর্তানুসারে, \(y = 2x\)

এখন, \(M\) এর প্রতিটি উপাদান \(x\) এর জন্য \(2x\) নির্ণয় করি এবং তা \(N\) এ আছে কিনা দেখি:

যখন \(x=2\), তখন \(y = 2 \times 2 = 4\)

যেহেতু \(4 \in N\), সুতরাং \((2,4) \in R\)

যখন \(x=3\), তখন \(y = 2 \times 3 = 6\)

যেহেতু \(6 \in N\), সুতরাং \((3,6) \in R\)

যখন \(x=5\), তখন \(y = 2 \times 5 = 10\)

যেহেতু \(10 \notin N\), সুতরাং \((5,10) \notin R\)

সুতরাং, R অন্বয়টিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে পাই,

\(R = \{(2,4), (3,6)\}\)

এখন, \(R\) অন্বয়ের ডোমেন নির্ণয় করি।

অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ডোমেন বলে।

সুতরাং, \(Dom R = \{2, 3\}\)

Satt AI

4 days ago

0 0