প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স বা সারণির সংখ্যাগুলো একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক ধারাক্রম অনুসরণ করে গঠিত হয়েছে।

পদ্ধতি ১ (ক্রমিক পার্থক্য নির্ণয়):

সারণিটির সংখ্যাগুলোকে পর পর সাজালে আমরা পাই: 2, 5, 10, 17, ?, 37, 50, 65, 82

পরপর দুটি সংখ্যার মধ্যবর্তী পার্থক্য লক্ষ্য করি:

  
• \(5 - 2 = 3\)
  
• \(10 - 5 = 5\)
  
• \(17 - 10 = 7\)
  
• \(? - 17 = 9 \implies ? = 17 + 9 = 26\)
  
• \(37 - 26 = 11\)
  
• \(50 - 37 = 13\)
  
• \(65 - 50 = 15\)
  
• \(82 - 65 = 17\)

এখানে প্রতিটি পদের মধ্যবর্তী পার্থক্য ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17) আকারে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

পদ্ধতি ২ (\(n^2 + 1\) সূত্রের সাহায্যে):

প্রতিটি পদকে \(n^2 + 1\) সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় (যেখানে \(n = 1, 2, 3, 4, 5, \dots\)):

  
• ১ম পদ: \(1^2 + 1 = 2\)
  
• ২য় পদ: \(2^2 + 1 = 5\)
  
• ৩য় পদ: \(3^2 + 1 = 10\)
  
• ৪র্থ পদ: \(4^2 + 1 = 17\)
  
• ৫ম পদ (শূন্য ঘর): \(5^2 + 1 = 26\)
  
• ৬ষ্ঠ পদ: \(6^2 + 1 = 37\)
  
• ৭ম পদ: \(7^2 + 1 = 50\)
  
• ৮ম পদ: \(8^2 + 1 = 65\)
  
• ৯ম পদ: \(9^2 + 1 = 82\)

সুতরাং, শূন্য ঘরের সঠিক সংখ্যাটি হবে 26।

প্রদত্ত চিত্রটিতে মোট ১২টি ত্রিভুজ রয়েছে। নিচে ধাপ অনুসারে বিস্তারিত গণনা দেওয়া হলো:

    
• ১টি করে ক্ষুদ্রতম অংশ (Region) নিয়ে গঠিত ত্রিভুজ: ৫টি
    
• ২টি অংশ একত্রিত করে গঠিত ত্রিভুজ: ৪টি
    
• ৩টি অংশ একত্রিত করে গঠিত ত্রিভুজ: ২টি
    
• সম্পূর্ণ বড় ত্রিভুজ (মূল চিত্র): ১টি

অতএব, চিত্রটিতে মোট ত্রিভুজের সংখ্যা = ৫ + ৪ + ২ + ১ = ১২টি।

গাণিতিক সমাধান:

কোনো নির্দিষ্ট শ্রেণিতে বা সারিতে একজন ব্যক্তির দুই দিকের (উপর ও নীচ বা ডান ও বাম) অবস্থান দেওয়া থাকলে মোট সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[ \text{মোট সংখ্যা} = (\text{একদিক থেকে অবস্থান} + \text{অন্যদিক থেকে অবস্থান}) - ১ \]

দেওয়া আছে,

উপর থেকে রোহানের অবস্থান = ৭ম
নীচ থেকে রোহানের অবস্থান = ২৬তম

অতএব, শ্রেণিতে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = \((৭ + ২৬) - ১\)

\(= ৩৩ - ১\)

\(= ৩২\) জন

ব্যাখ্যা: রোহানকে উপর থেকে গণনার সময় একবার এবং নীচ থেকে গণনার সময় আরও একবার অর্থাৎ মোট দুইবার গণনা করা হয়েছে। তাই সঠিক মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা বের করতে প্রাপ্ত যোগফল থেকে ১ বিয়োগ করতে হয়।

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, অক্টোবর মাস ৩১ দিনে সম্পন্ন হয়।

সপ্তাহ ৭ দিনে হওয়ায় কোনো নির্দিষ্ট তারিখের সাথে ৭ বা ৭-এর গুণিতক দিন যোগ করলে একই বার ফিরে আসে।

  
• ১লা অক্টোবর = রবিবার
  
• ১ + ২৮ = ২৯শে অক্টোবর = রবিবার
  
• ৩০শে অক্টোবর = সোমবার
  
• ৩১শে অক্টোবর = মঙ্গলবার
  
• ১লা নভেম্বর = বুধবার

সংক্ষিপ্ত নিয়ম:
অক্টোবর মাসের মোট ৩১ দিনকে ৭ দ্বারা ভাগ করলে:
\(৩১ \div ৭ = ৪\) সপ্তাহ এবং অবশিষ্ট থাকে ৩ দিন।
অতএব, রবিবার + ৩ দিন = বুধবার।

৪ বছর

বিস্তারিত সমাধান:

আমরা জানি, সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,

মুনাফা (\(I\)) = \(p \times r \times n\)

যেখানে,

আসল (\(p\)) = ১০,০০০ টাকা

মুনাফার হার (\(r\)) = ১২% = \(\frac{১২}{১০০}\)

মোট মুনাফা (\(I\)) = ৪,৮০০ টাকা

সময় (\(n\)) = ?

সূত্রানুসারে,

\(n = \frac{I}{p \times r}\)

বা, \(n = \frac{৪,৮০০}{১০,০০০ \times \frac{১২}{১০০}}\)

বা, \(n = \frac{৪,৮০০}{১,২০০}\)

বা, \(n = ৪\)

সুতরাং, নির্ণেয় সময় ৪ বছর।

বর্গাকার জমির ৪টি কোণ এবং ৪টি বাহু থাকে। যখন প্রতি বাহুতে নির্দিষ্ট সংখ্যক খুঁটি বসানো হয়, তখন ৪টি কোণের ৪টি খুঁটি দুটি করে বাহুর সাথে সাধারণ (common) হিসেবে যুক্ত থাকে। ফলে এগুলোকে দুইবার গণনা করা হয়।

সমাধান:

যদি সাধারণ নিয়মে প্রতিটি বাহুর খুঁটি গুণ করা হয়:

মোট গণনা = \(২৭ \times ৪ = ১০৮\) টি।

যেহেতু ৪টি কোণের ৪টি খুঁটি অতিরিক্ত একবার করে বেশি গণনা করা হয়েছে, তাই মোট প্রয়োজনীয় খুঁটির সংখ্যা হবে:

\(১০৮ - ৪ = ১০৪\) টি।

সংক্ষিপ্ত সূত্র:

বর্গাকার ক্ষেত্রে মোট খুঁটির সংখ্যা = \(৪ \times (n - ১)\)

এখানে, প্রতি পাশের খুঁটির সংখ্যা, \(n = ২৭\)

অতএব, মোট খুঁটি = \(৪ \times (২৭ - ১) = ৪ \times ২৬ = ১০৪\) টি।

একটি ১২ ঘণ্টার ঘড়ি পুনরায় সঠিক সময় প্রদর্শন করবে যখন এটি মোট ১২ ঘণ্টা বা \(১২ \times ৬০ = ৭২০\) মিনিট সময় হারাবে।

ঘড়িটি ২০ মিনিট সময় হারায় = ১ দিনে

ঘড়িটি ১ মিনিট সময় হারায় = \(\frac{১}{২০}\) দিনে

ঘড়িটি ৭২০ মিনিট সময় হারায় = \(\frac{৭২০}{২০} = ৩৬\) দিনে

অতএব, ৩৬ দিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দেবে।

ব্যাখ্যা:

ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের সূত্র:

\[ \text{কোণ} = \left| 30H - \frac{11}{2}M \right| \]

এখানে,

ঘণ্টার কাঁটার অবস্থান (\(H\)) = ৪

মিনিটের কাঁটার অবস্থান (\(M\)) = ০

মান বসিয়ে পাই,

\[ \text{কোণ} = \left| 30 \times 4 - \frac{11}{2} \times 0 \right| \]

\[ = |120 - 0| = 120^\circ \]

বিকল্প পদ্ধতি:

সম্পূর্ণ ঘড়ির ডায়ালটি \(360^\circ\) কোণ তৈরি করে এবং এটি ১২টি সমান অংশে বিভক্ত।

সুতরাং, প্রতিটি ঘণ্টার ঘরের জন্য কোণ = \(\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ\)।

৪ টা বাজার সময় মিনিটের কাঁটা থাকে ১২-এর ঘরে এবং ঘণ্টার কাঁটা থাকে ৪-এর ঘরে। ফলে তাদের মধ্যবর্তী ঘর সংখ্যা হয় ৪টি।

অতএব, মধ্যবর্তী কোণ = \(4 \times 30^\circ = 120^\circ\)।

বিস্তারিত সমাধান:

১. ১৭ দিন পূর্বের তারিখ নির্ণয়:
আজ মাসের ২৩ তারিখ হলে, ১৭ দিন পূর্বের তারিখ ছিল \(২৩ - ১৭ = ৬\) তারিখ।

২. জন্মদিনের তারিখ হিসাব:
৬ তারিখে দাঁড়িয়ে রহিম তার জন্মদিনের সময় উল্লেখ করেছিল "আগামী পরশু দিনের পরের দিন"।
৬ তারিখের সাপেক্ষে:
- ১ দিন পর (আগামীকাল) = ৭ তারিখ
- ২ দিন পর (আগামী পরশু দিন) = ৮ তারিখ
- পরশু দিনের পরের দিন (৩ দিন পর) = \(৮ + ১ = ৯\) তারিখ।

সুতরাং, রহিমের জন্মদিন মাসের ৯ তারিখ।

ধরি, অজানা সংখ্যাটি \(x\)।

প্রশ্নানুসারে,

\(x \text{ এর } \frac{৩}{৭} = ৪৮\)

বা, \(x \times \frac{৩}{৭} = ৪৮\)

বা, \(x = \frac{৪৮ \times ৭}{৩}\)

বা, \(x = ১৬ \times ৭\)

অতএব, \(x = ১১২\)

উত্তর: ১১২

সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা:

কোনো সংখ্যার ভগ্নাংশের মান দেওয়া থাকলে মূল সংখ্যাটি বের করার সহজ নিয়ম হলো প্রদত্ত মানকে ভগ্নাংশটির উল্টো রূপ (হর ও লবের স্থান পরিবর্তন) দ্বারা গুণ করা। অর্থাৎ, \(৪৮ \times \frac{৭}{৩} = ১১২\)।