(i) একটি গাছ ঝড়ে ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে গাছের গোড়া থেকে $10 \sqrt{3}$ মিটার দূরে ভূমিকে স্পর্শ করে।

(ii) P এবং দুইটি স্থানের মধ্যবর্তী কোনো স্থানে একটি উড়োজাহাজ উড়ছে। উড়োজাহাজের অবস্থানেও এর অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 45° ।

PQ = 1200 মিটার হলে, ভূমি থেকে উড়োজাহাজের উচ্চতা নির্ণয় কর।

Created: 1 year ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

134

উত্তরঃ

উদ্দীপকের দ্বিতীয় অংশে উল্লেখিত হয়েছে যে, P এবং দুইটি স্থানের মধ্যবর্তী কোনো স্থানে একটি উড়োজাহাজ উড়ছে এবং উড়োজাহাজের অবস্থান থেকে P ও Q স্থানের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 45°। প্রশ্নানুযায়ী, PQ = 1200 মিটার। ভূমি থেকে উড়োজাহাজের উচ্চতা নির্ণয় করার জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ প্রয়োজন হবে।

ধরি, উড়োজাহাজটি ভূমি থেকে 'h' উচ্চতায় A বিন্দুতে উড়ছে এবং ভূমি বরাবর P ও Q দুইটি স্থান। উড়োজাহাজের অভিক্ষেপ D, PQ রেখার উপর অবস্থিত। অবনতি কোণ অনুসারে, $\angle APD = 60^\circ$ এবং $\angle AQD = 45^\circ$। এখন, সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle APD$ থেকে, $\tan 60^\circ = \frac{AD}{PD}$, যা থেকে $PD = \frac{h}{\tan 60^\circ} = \frac{h}{\sqrt{3}}$ পাই। একইভাবে, সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle AQD$ থেকে, $\tan 45^\circ = \frac{AD}{QD}$, যা থেকে $QD = \frac{h}{\tan 45^\circ} = \frac{h}{1} = h$ পাই।

যেহেতু D বিন্দু P ও Q এর মধ্যবর্তী স্থানে অবস্থিত, তাই $PQ = PD + QD$। প্রশ্নমতে, PQ = 1200 মিটার। তাহলে, $1200 = \frac{h}{\sqrt{3}} + h$। এই সমীকরণটি সমাধান করলে, $1200 = h \left(\frac{1}{\sqrt{3}} + 1\right)$ বা $1200 = h \left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)$। অতএব, $h = \frac{1200\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$। হরের অনুবন্দী দিয়ে গুণ করে পাই, $h = \frac{1200\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{1200(3-\sqrt{3})}{3-1} = \frac{1200(3-\sqrt{3})}{2} = 600(3-\sqrt{3})$ মিটার। $\sqrt{3} \approx 1.732$ ব্যবহার করে, $h \approx 600(3-1.732) = 600(1.268) = 760.8$ মিটার। সুতরাং, ভূমি থেকে উড়োজাহাজের উচ্চতা প্রায় 760.8 মিটার।

Satt AI

5 days ago

134

MCQ: 251 CQ: 150

Practice

দূরত্ব ও উচ্চতা

অতি প্রাচীন কাল থেকেই দূরবর্তী কোনো বস্তুর দূরত্ব ও উচ্চতা নির্ণয় করতে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ করা হয়। বর্তমান যুগে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ব্যবহার বেড়ে যাওয়ায় এর গুরুত্ব অপরিসীম। যে সব পাহাড়, পর্বত, টাওয়ার, গাছের উচ্চতা এবং নদ-নদীর প্রস্থ সহজে মাপা যায় না সে সব ক্ষেত্রে উচ্চতা ও প্রস্থ ত্রিকোণমিতির সাহায্যে নির্ণয় করা যায়। এক্ষেত্রে সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান জেনে রাখা প্রয়োজন।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা ---

ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা, উল্লম্বতল, উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ ব্যাখ্যা করতে পারবে।
ত্রিকোণমিতির সাহায্যে দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
ত্রিকোণমিতির সাহায্যে হাতে-কলমে দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক বিভিন্ন পরিমাপ করতে পারবে।

ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা এবং উল্লম্বতল (Horizontal Line, Vertical Line and Vertical Plane)

ভূ-রেখা হচ্ছে ভূমি তলে অবস্থিত যে কোনো সরলরেখা। ভূ-রেখাকে শয়নরেখাও বলা হয়। ঊর্ধ্বরেখা হচ্ছে ভূমি তলের উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখা। একে উল্লম্ব রেখাও বলে।

ভূমি তলের উপর লম্বভাবে অবস্থিত পরস্পরচ্ছেদী ভূ-রেখা ও ঊর্ধ্বরেখা একটি তল নির্দিষ্ট করে। এ তলকে উল্লম্ব তল বলে।

চিত্রে ভূমি তলের কোনো স্থান C থেকে CB দূরত্বে AB উচ্চতা বিশিষ্ট একটি গাছ লম্ব অবস্থায় দন্ডায়মান। এখানে CB রেখা হচ্ছে ভূ-রেখা, BA রেখা হচ্ছে ঊর্ধ্বরেখা এবং ABC তলটি ভূমির উপর লম্ব যা উল্লম্বতল।

উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ (Angle of Elevation and Angle of Depression)

চিত্রটি লক্ষ করি, ভূমির সমান্তরাল AB একটি সরলরেখা। A, O, B, P, Q বিন্দুগুলো একই উল্লম্বতলে অবস্থিত। AB সরলরেখার উপরের P বিন্দুটি AB রেখার সাথে ∠POB উৎপন্ন করে। এখানে, O বিন্দুর সাপেক্ষে P বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠POB ।

সুতরাং ভূভঙ্গের উপরের কোন বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলা হয়।

Q বিন্দু ভূ-রেখার সমান্তরাল AB রেখার নিচের দিকে অবস্থিত। এখানে, O বিন্দুর সাপেক্ষে Q বিন্দুর অবনতি কোণ হচ্ছে ∠QOB। সুতরাং ভুতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোন বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলা হয়।

বিশেষ দ্রষ্টব্য : এ অধ্যারে সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে আনুমানিক সঠিক চিত্র আবশ্যক। চিত্র অঙ্কনের সময় নিচের কৌশল অবলম্বন করা দরকার।

১. 30° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি > লম্ব হবে।

২. 45° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি = লম্ব হবে।

৩. 60° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি << লম্ব হবে।

উদাহরণ ১. একটি টাওয়ারের পাদদেশ থেকে 75 মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি 30° হলে, টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, টাওয়ারের উচ্চতা AB = h মিটার, টাওয়ারের পাদদেশ থেকে BC = 75 মিটার দূরে ভূতল C বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষ A বিন্দুর উন্নতি ∠ACB = 30°

উদাহরণ ২. একটি গাছের উচ্চতা 105 মিটার। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ 60° তৈরি করলে, গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান :

উদাহরণ ৩. 18 মিটার লম্বা একটি মই একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে ভূমির সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করে। দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, দেওয়ালটির উচ্চতা AB = h মিটার, মইটির দৈর্ঘ্য AC = 18 মিটার এবং ভূমির সঙ্গে ∠ACB = 45° উৎপন্ন করে।

সুতরাং দেওয়ালটির উচ্চতা 12.73 মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৪. ঝড়ে একটি গাছ হেলে পড়লো। গাছের গোড়া থেকে 7 মিটার উচ্চতায় একটি খুঁটি ঠেস দিয়ে গাছটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে খুঁটিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য BC : = মিটার, গাছের গোড়া থেকে AB 7 মিটার উচ্চতায় খুঁটিটি ঠেস দিয়ে আছে এবং অবনতি ∠DBC = 30°

$∴$ ∠ACB = ∠DBC = 30° [একান্তর কোণ বলে]

সমকোণী ∠ABC থেকে পাই,

$∴$ BC = 14

$∴$ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য 14 মিটার।

উদাহরণ ৫. ভূতলস্থ কোনো স্থানে একটি দালানের ছাদের একটি বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° । ঐ স্থান থেকে 42 মিটার পিছিয়ে গেলে দালানের ঐ বিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হয়। দালানের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, দালানের উচ্চতা AB = h মিটার এবং শীর্ষের উন্নতি ∠ACB = 60° এবং C স্থান থেকে CD = 42 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি ∠ADB = 45° হয়।

ধরি, BC = x মিটার।

$∴$ h = 99.373 (প্রায়)

$∴$ দালানটির উচ্চতা 99.37 মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৬. একটি খুঁটি এমন ভাবে ভেঙে গেল যে, তার অবিচ্ছিন্ন ভাঙা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য AB = h মিটার, খুঁটিটি BC = x মিটার উচ্চতায় ভেঙে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে ∠BCD = 30° উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে BD = 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে।

এখানে, CD = AC = AB – BC = (h – x) মিটার

△BCD থেকে পাই,

বা, h – x = 20 বা, h = 20 + x বা, h = $20 + 10 \sqrt{3}$ [x এর মান বসিয়ে]

$∴$ h = 37.321 (প্রায়)

$∴$ খুঁটির দৈর্ঘ্য 37.32 মিটার (প্রায়)।

Related Question

View All

(খ)

গাছটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল নির্ণয় কর।

এসএসসি গণিত চট্টগ্রাম বোর্ড - 2024 দূরত্ব ও উচ্চতা

487

Add Explanation

487

(গ)

গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ কত হ্রাস পেলে গাছটির ছায়ার দৈর্ঘ্য

42 \sqrt{3}

মিটার বৃদ্ধি পাবে?

এসএসসি গণিত চট্টগ্রাম বোর্ড - 2024 দূরত্ব ও উচ্চতা

741

উত্তরঃ

উদ্দীপক অনুসারে, গাছটির উচ্চতা (লম্ব) = 63 মিটার এবং প্রাথমিক ছায়ার দৈর্ঘ্য (ভূমি) = $21\sqrt{3}$ মিটার। যদি গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ $\theta_1$ হয়, তাহলে সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রানুযায়ী:

\[ \tan \theta_1 = \frac{\text{গাছের উচ্চতা}}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য}} \] \[ \tan \theta_1 = \frac{63}{21\sqrt{3}} \] \[ \tan \theta_1 = \frac{3}{\sqrt{3}} \] \[ \tan \theta_1 = \sqrt{3} \] \[ \theta_1 = \tan^{-1}(\sqrt{3}) \] \[ \theta_1 = 60^\circ \]

এখন, যদি ছায়ার দৈর্ঘ্য $42\sqrt{3}$ মিটার বৃদ্ধি পায়, তাহলে নতুন ছায়ার দৈর্ঘ্য হবে: নতুন ছায়ার দৈর্ঘ্য = প্রাথমিক ছায়ার দৈর্ঘ্য + বর্ধিত দৈর্ঘ্য নতুন ছায়ার দৈর্ঘ্য = $21\sqrt{3} + 42\sqrt{3} = (21+42)\sqrt{3} = 63\sqrt{3}$ মিটার। যদি গাছটির শীর্ষবিন্দুর নতুন উন্নতি কোণ $\theta_2$ হয়, তাহলে: \[ \tan \theta_2 = \frac{\text{গাছের উচ্চতা}}{\text{নতুন ছায়ার দৈর্ঘ্য}} \] \[ \tan \theta_2 = \frac{63}{63\sqrt{3}} \] \[ \tan \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \theta_2 = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \] \[ \theta_2 = 30^\circ \]

সুতরাং, গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ হ্রাস পাবে: উন্নতি কোণের হ্রাস = প্রাথমিক উন্নতি কোণ - নতুন উন্নতি কোণ উন্নতি কোণের হ্রাস = $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$। অতএব, গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ $30^\circ$ হ্রাস পেলে গাছটির ছায়ার দৈর্ঘ্য $42\sqrt{3}$ মিটার বৃদ্ধি পাবে।

Satt AI

2 days ago