$△$PQR এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, QM : MR = QP : PR

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, \(C\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে \(MN\) ও \(OP\) দুটি সমান জ্যা, অর্থাৎ \(MN = OP\)। কেন্দ্র \(C\) থেকে \(MN\) ও \(OP\) জ্যা-দ্বয়ের ওপর যথাক্রমে \(CA \perp MN\) এবং \(CB \perp OP\) অঙ্কন করা হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, \(AC = BC\)।

প্রমাণ: আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
যেহেতু \(CA \perp MN\) এবং \(CB \perp OP\), সেহেতু \(AN = \frac{1}{2} MN\) এবং \(BO = \frac{1}{2} OP\)।
দেওয়া আছে, \(MN = OP\)
\(\implies \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} OP\)
\(\implies AN = BO\)
এখন, \(\Delta CAN\) এবং \(\Delta CBO\) সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে:
অতিভুজ \(CN =\) অতিভুজ \(CO\) [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং বাহু \(AN =\) বাহু \(BO\)
অতএব, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্যানুসারে, \(\Delta CAN \cong \Delta CBO\)।
সুতরাং, \(AC = BC\) (প্রমাণিত)।

বিশেষ নির্বাচন:

দেওয়া আছে, \(C\) বৃত্তের কেন্দ্র এবং \(MN\) ও \(OP\) দুটি জ্যা। কেন্দ্র \(C\) থেকে \(MN\) ও \(OP\) জ্যাদ্বয়ের ওপর যথাক্রমে \(CA \perp MN\) এবং \(CB \perp OP\) লম্ব আঁকা হয়েছে। ফলে \(AC\) এবং \(BC\) কেন্দ্র \(C\) থেকে যথাক্রমে \(MN\) ও \(OP\) জ্যাদ্বয়ের দূরত্ব নির্দেশ করে।
যদি \(MN > OP\) হয়, তবে প্রমাণ করতে হবে যে, \(AC < BC\)।

অঙ্কন:

\(C, N\) এবং \(C, O\) যোগ করি।

প্রমাণ:

১. কেন্দ্র \(C\) থেকে \(MN\) জ্যা-এর ওপর \(CA \perp MN\)।
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অতএব, \(AN = \frac{1}{2} MN\)

একইভাবে, \(CB \perp OP\) হওয়ায়,
\(BO = \frac{1}{2} OP\)

২. দেওয়া আছে,
\(MN > OP\)
বা, \(\frac{1}{2} MN > \frac{1}{2} OP\)
বা, \(AN > BO\)
বা, \(AN^2 > BO^2\) ...... (i)

৩. \(\Delta CAN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\angle CAN = 90^\circ\)।
পিথাগোরাসের উপপাদ্যানুসারে,
\(AN^2 + AC^2 = CN^2\)
বা, \(AN^2 = CN^2 - AC^2\) ...... (ii)

একইভাবে, \(\Delta CBO\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\angle CBO = 90^\circ\)।
পিথাগোরাসের উপপাদ্যানুসারে,
\(BO^2 + BC^2 = CO^2\)
বা, \(BO^2 = CO^2 - BC^2\) ...... (iii)

৪. কিন্তু, \(CN = CO\) [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে]
সুতরাং, \(CN^2 = CO^2\)

৫. (i) নং অসমতায় (ii) ও (iii) হতে \(AN^2\) ও \(BO^2\)-এর মান বসিয়ে পাই,
\(CN^2 - AC^2 > CO^2 - BC^2\)
বা, \(CN^2 - AC^2 > CN^2 - BC^2\) [\(\because CN = CO\)]
বা, \(- AC^2 > - BC^2\) [উভয়পক্ষ থেকে \(CN^2\) বিয়োগ করে]
বা, \(AC^2 < BC^2\) [উভয়পক্ষকে \(-1\) দিয়ে গুণ করে চিহ্ন পরিবর্তন করে]
বা, \(AC < BC\) (প্রমাণিত)。

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যানুসারে, ΔDEF একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ যার EF অতিভুজ এবং A, EF এর উপরস্থ যেকোনো একটি বিন্দু। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, \(AE^2 + AF^2 = 2AD^2\)।

প্রমাণের সুবিধার্থে, D বিন্দু থেকে অতিভুজ EF এর উপর DM লম্ব অঙ্কন করি। যেহেতু ΔDEF একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ এবং EF এর অতিভুজ, এর সমকোণিক শীর্ষ D থেকে অতিভুজ EF এর উপর অঙ্কিত লম্ব এবং মধ্যমা DM অতিভুজের অর্ধেক হয়। এর মানে হলো, M বিন্দুটি EF এর মধ্যবিন্দু এবং \(DM = ME = MF = \frac{1}{2}EF\)। এই বৈশিষ্ট্য থেকে আমরা পাই, \(DM = EM\)।

এখন, ΔADM একটি সমকোণী ত্রিভুজ, কারণ DM \(\perp\) EF। পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে আমরা পাই, \(AD^2 = AM^2 + DM^2\) ...... (i)। আবার, ΔAEF ত্রিভুজে AM হলো EF বাহুর মধ্যমা (যেহেতু M, EF এর মধ্যবিন্দু)। মধ্যমার উপপাদ্য (Apollonius's Theorem) অনুযায়ী, আমরা জানি: \(AE^2 + AF^2 = 2(AM^2 + EM^2)\) ...... (ii)। যেহেতু আমরা আগেই প্রমাণ করেছি যে \(DM = EM\), সুতরাং \(DM^2 = EM^2\)। এখন, (i) নং সমীকরণে \(DM^2\) এর পরিবর্তে \(EM^2\) বসিয়ে পাই, \(AD^2 = AM^2 + EM^2\) ...... (iii)। পরিশেষে, (ii) নং সমীকরণে \(AM^2 + EM^2\) এর স্থানে (iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(AD^2\) বসিয়ে আমরা পাই, \(AE^2 + AF^2 = 2AD^2\)। (প্রমাণিত)