△ PQR এর PR বাহুর মধ্যবিন্দু S.

এখানে, △PQR এ ∠PQR = 90° এবং QR এর উপর একটি বিন্দু S । P, S যোগ করি।

প্রমাণ করতে হবে যে,

$P{R}^2-P{S}^2=Q{R}^2-Q{S}^2$

প্রমাণ:

ধাপ ১:  PQR সমকোণী ত্রিভুজে

$P{R}^2=P{Q}^2+Q{R}^2$  [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী]

ধাপ ২: PQS সমকোণী ত্রিভুজে

$P{S}^2=P{Q}^2+Q{S}^2$  [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী]

ধাপ ৩: $P{R}^2-P{S}^2=P{Q}^2+Q{R}^2-P{Q}^2-Q{S}^2$ [ধাপ (১) ও ধাপ (২) হতে]

$\therefore$ $P{R}^2-P{S}^2=Q{R}^2-Q{S}^2$ (প্রমাণিত)

মনে করি, △ PQR-এর PR বাহুর মধ্যবিন্দু S.। Q, S যোগ করি।

প্রমাণ করতে হরে যে,

PQ + QR > 2QS.

অঙ্কন: QS কে পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন QS = SE হয়। E, R যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১: △ QPS এবং △ ERS-এ, PS = RS  [PR-এর মধ্যবিন্দু s]

QS = ES [অঙ্কন অনুসারে]

∠QSP = ∠ESR [বিপ্রতীপ কোণ]

$\therefore$ △QPS $\equiv$ △ERS [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

$\therefore$ PQ=ER

আবার, QE = QS + SE

ধাপ ২: এখন, A QER-এ, QR + ER > QE [ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, QR + PQ > QS + SE  [(১) থেকে]

বা, PQ + QR > QS + QS [অঙ্কনানুসারে]

$\therefore$ PQ + QR > 2QS (প্রমাণিত)

△PQR এর QP কে M পর্যন্ত এবং QR কে N পর্যন্ত বর্ধিত করি। এতে P ও R বিন্দুতে যথাক্রমে বহিঃস্থ ∠MPR ও বহিঃস্থ ∠NRP উৎপন্ন হয়। ∠MPR ও ∠NRP এর সমদ্বিখণ্ডক PO ও RO পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠POR = 90° - $\frac{1}{2}$ ∠Q.

প্রমাণ:

ধাপ ১: A PQR এর বহিঃস্থ ∠MPR = ∠Q + ∠R [বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্ব বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]

অনুরূপভাবে, ∠NRP = ∠Q + ∠P

ধাপ ২: এখন, △POR এ,

∠POR + ∠OPR+ ∠ORP = 180° [ত্রিভুজের তিনকোণের সমস্টি 180°]

বা, ∠POR + $\frac{1}{2}$ ∠MPR + $\frac{1}{2}$ ∠NRP = 180°

বা, ∠POR + $\frac{1}{2}$ (∠Q+∠R) + $\frac{1}{2}$ (∠Q+∠P) = 180°

বা, ∠POR + $\frac{1}{2}$ ( ∠P+ ∠Q+ ∠R+ ∠Q) = 180°

বা, ∠POR + $\frac{1}{2}$ (180° + ∠Q) = 180° [∠P + ∠Q + ∠R = 180°]

বা, ∠POR + 90° + $\frac{1}{2}$ ∠Q=180°

বা, ∠POR= 180° - 90° - $\frac{1}{2}$ ∠Q

$\therefore$ ∠POR =90° - $\frac{1}{2}$∠Q. (প্রমাণিত)