△ PQR হতে PQ² + PR² = 2(PM² + QM²) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত কর।

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, △ ABC এর পরিবৃত্তস্থ P বিন্দু হতে BC ও CA রেখার উপর PD ও PE লম্ব অঙ্কন করা হয়েছে। ED রেখাংশ AB এর বর্ধিতাংশকে ০ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, PO $\perp$ AB.

প্রমাণ: ত্রিভুজের পরিবৃত্তস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ ত্রিভুজের বাহরেখাত্রয়ের উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটির পাদবিন্দুগুলো সমরেখ। P' বিন্দু থেকে PD ও PE লম্ব D ও E বিন্দুতে যথাক্রমে BC ও CA কে ছেদ করে। D,E যোগ করে বর্ধিত করলে উহা BA-এর বর্ধিতাংশকে যে O বিন্দুতে ছেদ করে যা বিন্দু থেকে AB এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু। যেহেতু PO ও BA-এর বর্ধিতাংশের ছেদবিন্দু শুধুমাত্র একটি এবং D, E, O সমরেখ সেহেতু PO $\perp$ AB. (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ΔABC এর ∠C সমকোণ। C থেকে অতিভুজ BA এর উপর অঙ্কিত লম্ব CD।

প্রমাণ করতে হবে যে, CD² = AD. BD.

অঙ্কন: AB কে ব্যাস ধরে বৃত্ত আঁকলে তা : বিন্দু দিয়ে যাবে। CD-কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি যা বৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ: CD DE [$\because$ ব্যাসের উপর লম্বভাবে জ্যাটি রয়েছে তাই বলা যায় কেন্দ্র হতে অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

AB ও CE জ্যাদ্বয় পরস্পরকে ছেদ করে।

আমরা জানি, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা যদি বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দুতে ছেদ করে, তবে একটির অংশদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপরটির অংশদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।

AD. DB = DC. DE = CD. CD [$\because$ CD-DE]

সুতরাং CD² = AD. DB. (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ∆ABC-এ A, B ও C হতে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব AD, BE ও CF, O বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, AO. OD =BO.OE=CO.OF

প্রমাণ: $\angle$ BEC = $\angle$ BFC

[প্রত্যেকেই এক সমকোণ]

∴ B, F, E, C বিন্দুগুলো সমবৃত্ত।

∴ $\frac{BO}{CO}=\frac{OF}{OE}$

বা, BO.OE = CO. OF

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, AO.OD = BO. OF

সুতরাং AO . OD = BO.OE = CO.OF (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বাচন: মনে করি, AB ব্যাসের উপর ADCB একটি অর্ধবৃত্ত। যার AC ও BD জ্যাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, AB² = AC. AP + BD.BP.

অঙ্কন: PM $\perp$ AB অঙ্কন করি। A, D ও B, C যোগ করি।

প্রমাণ: AB চাপের উপর দন্ডায়মান অর্ধবৃত্তস্থকোণ ∠ACB ও ∠ADB

∴ ∠ACB = ∠ADB = এক সমকোণ [$\because$ অর্ধবৃত্তস্থ সমকোণ]

ΔΑΡΜ Δ ABC এ.

∠PMA = ∠ACB [প্রত্যেকে সমকোণ]

∠PAM=∠CAB [সাধারণ কোণ]

∴ ΔAPM ও Δ ABC সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ

∴ $\frac{AM}{AC}=\frac{AP}{AB}$ [$\because$অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা. AC.AP = AB.AM........(1)

আবার,

Δ BMP ও ΔABD এ,

∠PMB = ∠ADB [প্রত্যেকে সমকোণ]

∠PBM = ∠DBA [সাধারণ কোণ]

∴ Δ BMP ও Δ ABD সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ

∴ $\frac{BP}{AB}=\frac{BM}{BD}$[ $\because$অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা, BD.BP =AB. BQ ……...(2)

সমীকরণ (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,

AC.AP+BD.BP. = AB.AM + AB. BM

= AB(AM + BM)

= AB.AB [$\because$ AM + BM = AB]

= AB²

∴ AB² = AC.AP + BD.BP (প্রমাণিত)

মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সে.মি.।

আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস এবং ঐ বাহুদ্বয়ের সাধারণ বিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমান।

সুতরাং, চিত্রে AB. AC = 2R. AD [এখানে AD লম্ব ও 2R পরিবৃত্তের ব্যাস]

AB² = 2R. AD ……….. (1) [ABC সমবাহু ত্রিভুজ হওয়ায় AB = AC]

△ ABC-এর BO = AO = 3 সে.মি.

AO যোগ করে বর্ধিত করায় AD মধ্যমা।

এখন, যেহেতু BO = AO = 3 সে.মি.

∴ $OD=\frac{3}{2}$সে.মি. [∴ O সম্পাত বিন্দু]

∴ AD = AO + OD

$=3+\frac{3}{2}$ সে.মি. [ মধ্যমাত্রয় সম্পাত বিন্দুতে পরস্পরকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে ]

$=\frac{9}{2}$ সে.মি.

এখন, সমীকরণ (1)-এ সংশ্লিষ্ট মান বসিয়ে পাই,

$A{B}^2=2R.AD=2\times 3\times \frac{9}{2}=27$

∴ $AB=\sqrt{27}=\sqrt{9.3}=3\sqrt{3}$

∴ △ ABC এর বাহুর দৈর্ঘ্য $3\sqrt{3}$ সে.মি.।

বিশেষ নির্বাচন: দেওয়া আছে, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের A থেকে BC এর উপর লম্ব AD এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R। প্রমাণ করতে হবে যে, 2R. AD = AB².

অঙ্কন: Ο, Δ ABC এর পরিকেন্দ্র। A, O যোগ করে P পর্যন্ত বর্ধিত করি যা পরিধিকে P বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, AO + OP = 2R বা AP = 2R। C, P যোগ করি।

প্রমাণ: △ ABD এবং △ ACP -এ ∠ADB = ∠ACP উভয়ে এক সমকোণ

∠ABD = ∠APC [একই জ্যা AC এর উপর অবস্থিত]

অবশিষ্ট ∠BAD = অবশিষ্ট ∠CAP

∴ △ ABD ও △ACP সদৃশ্যকোণী ও সদৃশ,

তাহলে, $\frac{AB}{AD}=\frac{AP}{AC}$[ অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা, AB. AC = AD. AP

বা, AB. AB = 2R. AD [ AB = AC ও AP = 2R]

সুতরাং AB² = 2R. AD. (প্রমাণিত)