P(x) কে (2x + a) এবং (2x + b) দ্বারা ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে যেখানে a $\ne$ b তবে দেখাও যে, a² + ab + b² + 12a + 12b + 20 = 0 

দেওয়া আছে, বহুপদী (Polynomial) \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 5x - 3\)

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) অনুসারে, \(P(x)\) কে \((2x + a)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে \(P\left(-\frac{a}{2}\right)\)।

সুতরাং,
\(P\left(-\frac{a}{2}\right) = \left(-\frac{a}{2}\right)^3 - 6\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{a}{2}\right) - 3\)
\(= -\frac{a^3}{8} - 6 \cdot \frac{a^2}{4} - \frac{5a}{2} - 3\)
\(= -\frac{a^3}{8} - \frac{3a^2}{2} - \frac{5a}{2} - 3\)

একইভাবে, \(P(x)\) কে \((2x + b)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে \(P\left(-\frac{b}{2}\right)\)।

সুতরাং,
\(P\left(-\frac{b}{2}\right) = \left(-\frac{b}{2}\right)^3 - 6\left(-\frac{b}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{b}{2}\right) - 3\)
\(= -\frac{b^3}{8} - 6 \cdot \frac{b^2}{4} - \frac{5b}{2} - 3\)
\(= -\frac{b^3}{8} - \frac{3b^2}{2} - \frac{5b}{2} - 3\)

প্রশ্নমতে, ভাগশেষ দুটি সমান।
\(P\left(-\frac{a}{2}\right) = P\left(-\frac{b}{2}\right)\)
\(-\frac{a^3}{8} - \frac{3a^2}{2} - \frac{5a}{2} - 3 = -\frac{b^3}{8} - \frac{3b^2}{2} - \frac{5b}{2} - 3\)

উভয় পক্ষকে 8 দ্বারা গুণ করে পাই:
\(-a^3 - 12a^2 - 20a - 24 = -b^3 - 12b^2 - 20b - 24\)

উভয় পক্ষ থেকে \(-24\) বাদ দিয়ে এবং পদগুলো পুনর্বিন্যাস করে পাই:
\(b^3 - a^3 + 12b^2 - 12a^2 + 20b - 20a = 0\)

পদগুলো উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
\((b - a)(b^2 + ab + a^2) + 12(b^2 - a^2) + 20(b - a) = 0\)
\((b - a)(b^2 + ab + a^2) + 12(b - a)(b + a) + 20(b - a) = 0\)

যেহেতু \(a \ne b\), সুতরাং \((b - a) \ne 0\)। উভয় পক্ষকে \((b - a)\) দ্বারা ভাগ করে পাই:
\(b^2 + ab + a^2 + 12(b + a) + 20 = 0\)

পুনর্বিন্যাস করে পাই:
\(a^2 + ab + b^2 + 12a + 12b + 20 = 0\)

(প্রমাণিত)