$P\left(x\right)=m{x}^3+n{x}^2+qx+r$

উদ্দীপকে প্রদত্ত \(b=8\) ব্যবহার করে এবং প্রশ্নোক্ত "জটিল মূলদ্বয়" শর্ত বিবেচনা করে, \(a-b=0\) সমীকরণটিকে একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ \(z^2+b=0\) আকারে ব্যাখ্যা করা যায়। সে অনুযায়ী, সমীকরণটি হলো \(z^2+8=0\)। এই সমীকরণটির জটিল মূলদ্বয় নির্ণয় করতে পাই:

\(z^2 = -8\)

\(z = \pm \sqrt{-8}\)

\(z = \pm 2\sqrt{2}i\)

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় হলো \(z_1 = 2\sqrt{2}i\) এবং \(z_2 = -2\sqrt{2}i\)।

জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট হলো জটিল সমতলে মূলবিন্দু থেকে জটিল সংখ্যাটির অবস্থান ভেক্টর ধনাত্মক বাস্তব অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে। দুইটি জটিল সংখ্যার গুণফলের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম হলো, তাদের গুণফলের আর্গুমেন্ট তাদের পৃথক আর্গুমেন্টদ্বয়ের যোগফলের সমান হয়। এই সম্পর্কটি প্রধান আর্গুমেন্টের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হয় যদি আর্গুমেন্টদ্বয়ের যোগফল \((-\pi, \pi]\) সীমার মধ্যে থাকে, যা প্রমাণ করতে বলা হয়েছে।

এখন, \(z_1 = 2\sqrt{2}i\) এবং \(z_2 = -2\sqrt{2}i\) মূলদ্বয় ব্যবহার করে আর্গুমেন্টসমূহ নির্ণয় করি:

\(arg(z_1) = arg(0 + 2\sqrt{2}i) = \frac{\pi}{2}\) (যেহেতু \(z_1\) ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষে অবস্থিত)

\(arg(z_2) = arg(0 - 2\sqrt{2}i) = -\frac{\pi}{2}\) (যেহেতু \(z_2\) ঋণাত্মক কাল্পনিক অক্ষে অবস্থিত)

এরপর, মূলদ্বয়দ্বয়ের গুণফল \(z_1z_2\) নির্ণয় করি এবং তার আর্গুমেন্ট বের করি:

\(z_1z_2 = (2\sqrt{2}i)(-2\sqrt{2}i) = -(2\sqrt{2})^2 i^2 = -8(-1) = 8\)

\(arg(z_1z_2) = arg(8) = 0\) (যেহেতু 8 একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা)

অতএব, দেখা যাচ্ছে যে,

\(arg(z_1) + arg(z_2) = \frac{\pi}{2} + (-\frac{\pi}{2}) = 0\)

সুতরাং, \(arg(z_1z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)\) প্রমাণিত হলো।