$f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = \frac{1}{\sqrt{3 x - 2}}$ $S = {(x, y); 4 x^{2} + 4 y^{2} - 256 = 0$ এবং $y \geq 0}$ একটি অন্বয়।

S অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং S অন্বয়টি ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র হতে নির্ণয় কর।

Created: 1 year ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

338

উত্তরঃ

প্রদত্ত অন্বয় $S$-এর লেখচিত্র অঙ্কন এবং তা ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র হতে নির্ণয় করা হলো:

প্রথমে, প্রদত্ত অন্বয় $S$-কে সরলীকরণ করা যাক:

\[4x^2 + 4y^2 - 256 = 0\]

\[4(x^2 + y^2) = 256\]

\[x^2 + y^2 = \frac{256}{4}\]

\[x^2 + y^2 = 64\]

এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $\sqrt{64} = 8$ একক। অন্বয়ের শর্তে `$y \geq 0$` থাকায়, লেখচিত্রটি হবে $x^2 + y^2 = 64$ বৃত্তের উপরের অর্ধবৃত্ত। এই অর্ধবৃত্তটি অঙ্কনের জন্য, আমরা কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করব:

যখন $x=0$, $y^2=64 \implies y=\pm 8$। যেহেতু $y \geq 0$, বিন্দুটি হলো $(0,8)$।
যখন $y=0$, $x^2=64 \implies x=\pm 8$। বিন্দুগুলো হলো $(8,0)$ এবং $(-8,0)$।

এই বিন্দুগুলো (যেমন: $(0,8)$, $(8,0)$, $(-8,0)$) এবং এদের মধ্যবর্তী অন্যান্য বিন্দু (যেমন: $x=4 \implies y=\sqrt{64-16} = \sqrt{48} \approx 6.93$) স্থাপন করে লেখ কাগজে $(-8,0)$ থেকে $(8,0)$ পর্যন্ত উপরের অর্ধবৃত্তটি অঙ্কন করা হবে।

অন্বয় $S$ ফাংশন কিনা তা নির্ণয় করতে উল্লম্ব রেখা পরীক্ষা (vertical line test) ব্যবহার করা হয়। এই পরীক্ষা অনুযায়ী, যদি কোনো অন্বয়ের লেখচিত্রের উপর অঙ্কিত একটি উল্লম্ব রেখা লেখচিত্রটিকে একাধিক বিন্দুতে ছেদ করে, তবে সেই অন্বয়টি ফাংশন নয়। কিন্তু যদি একটি উল্লম্ব রেখা লেখচিত্রটিকে সর্বাধিক একটি বিন্দুতে ছেদ করে, তবে অন্বয়টি একটি ফাংশন। প্রদত্ত অন্বয় $S$ হলো $(x^2 + y^2 = 64, y \geq 0)$ দ্বারা গঠিত উপরের অর্ধবৃত্ত। এই অর্ধবৃত্তের লেখচিত্রে $(-8 < x < 8)$ সীমার মধ্যে যেকোনো উল্লম্ব রেখা অঙ্কন করলে, তা লেখচিত্রটিকে কেবলমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করবে। কারণ, একটি নির্দিষ্ট $x$ মানের জন্য, $y = \sqrt{64 - x^2}$ থেকে $y$-এর শুধুমাত্র একটি অঋণাত্মক (বা ধনাত্মক) মান পাওয়া যায়।

যেহেতু অন্বয় $S$-এর লেখচিত্র (উপরের অর্ধবৃত্ত) উল্লম্ব রেখা পরীক্ষাটি সন্তুষ্ট করে (অর্থাৎ, ডোমেনের প্রতিটি $x$ মানের জন্য রেঞ্জের কেবলমাত্র একটি $y$ মান পাওয়া যায়), তাই $S$ একটি ফাংশন।

Satt AI

9 hours ago

338

MCQ: 4k CQ: 2.2k

Practice

Related Question

View All

(ক)

ƒ এর ডোমেন নির্ণয় কর।

এসএসসি উচ্চতর গণিত দিনাজপুর বোর্ড - 2025

317

উত্তরঃ

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x - 2}}$। ফাংশনটি বাস্তব মান ধারণ করার জন্য বর্গমূলের ভিতরের রাশিকে অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে এবং হর শূন্য হতে পারবে না। সুতরাং, শর্তটি হলো $3x - 2 > 0$। এই অসমতা থেকে আমরা পাই $3x > 2$, অর্থাৎ $x > \frac{2}{3}$। অতএব, ƒ এর ডোমেন হলো $ \{x \in \mathbb{R} : x > \frac{2}{3}\} $।

কোনো ফাংশনের ডোমেন বলতে স্বাধীন চলক (x) এর সেই সকল বাস্তব মানের সেটকে বোঝায় যার জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হয় এবং একটি বাস্তব মান (y) দেয়। এখানে, ভগ্নাংশের হরে একটি বর্গমূল রাশি $\sqrt{3x - 2}$ থাকায়, এর ভিতরের মান ঋণাত্মক হতে পারবে না এবং হর শূন্য হওয়া যাবে না। এই দুটি শর্ত একত্রিত করলে আমরা পাই $3x - 2 > 0$, যার ভিত্তিতে ফাংশনের ডোমেন নির্ণয় করা হয়েছে।

Satt AI

9 hours ago

317

(খ)

ƒ একটি সার্বিক ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর।

এসএসসি উচ্চতর গণিত দিনাজপুর বোর্ড - 2025

320

উত্তরঃ

একটি ফাংশন $f: A \to B$ কে সার্বিক ফাংশন (onto function) বলা হয় যদি এর পাল্লা (range) এর সহ-ডোমেন (codomain) এর সমান হয়। অর্থাৎ, সহ-ডোমেন $B$ এর প্রতিটি উপাদান $y$ এর জন্য, ডোমেন $A$ তে অন্তত একটি উপাদান $x$ বিদ্যমান থাকে যেন $f(x) = y$ হয়।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x - 2}}$। এই ফাংশনের বাস্তব মান পাওয়ার জন্য বর্গমূলের ভিতরের রাশিকে অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে এবং এটি হরে থাকার কারণে শূন্য হতে পারবে না। সুতরাং, $3x - 2 > 0$ $3x > 2$ $x > \frac{2}{3}$ অতএব, ফাংশনটির ডোমেন (domain) হলো $( \frac{2}{3}, \infty )$।

এখন, ফাংশনটির পাল্লা (range) নির্ণয় করি। যেহেতু $\sqrt{3x - 2}$ সর্বদা ধনাত্মক, তাই $\frac{1}{\sqrt{3x - 2}}$ এর মানও সর্বদা ধনাত্মক হবে। যখন $x \to \frac{2}{3}^+$, তখন $\sqrt{3x - 2} \to 0^+$, ফলে $f(x) \to \infty$। যখন $x \to \infty$, তখন $\sqrt{3x - 2} \to \infty$, ফলে $f(x) \to 0^+$। অতএব, ফাংশনটির পাল্লা হলো $(0, \infty)$ বা সকল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট।

উদ্দীপকে প্রদত্ত ফাংশনটির সহ-ডোমেন (codomain) হলো $ℝ$, অর্থাৎ সকল বাস্তব সংখ্যার সেট। কিন্তু আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, ফাংশনটির পাল্লা $(0, \infty)$ যা সহ-ডোমেন $ℝ$ এর সমান নয়। কারণ $ℝ$ এর মধ্যে ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য অন্তর্ভুক্ত, যা ফাংশনটির পাল্লার মধ্যে নেই। যেহেতু পাল্লা এবং সহ-ডোমেন সমান নয়, তাই $f$ একটি সার্বিক ফাংশন নয়।

Satt AI

9 hours ago

320

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

S অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং S অন্বয়টি ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র হতে নির্ণয় কর।

Related Question

Related Question

Promotion