ভরের আপেক্ষিকতা \(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) এর প্রমাণ নিচে দেওয়া হলো:

ধরি, \(m_0\) স্থির ভরের একটি কণা \(v\) বেগে গতিশীল। কণাটিকে \(F\) বল দ্বারা \(ds\) সরণ ঘটানো হলে, কৃতকাজ \(dW = Fds\)।

আপেক্ষিকতা তত্ত্ব অনুসারে, একটি কণার ভরবেগ \(p = mv\), যেখানে \(m\) হলো কণার আপেক্ষিক ভর।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে, বল হলো ভরবেগের পরিবর্তনের হার। অর্থাৎ,

\(F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(mv)\)

কণাটির উপর প্রযুক্ত বল দ্বারা কৃতকাজ \(dW\) কণার গতিশক্তি \(dK\) বৃদ্ধি করে। সুতরাং,

\(dK = dW = Fds\)

যেহেতু \(v = \frac{ds}{dt}\), তাহলে \(ds = vdt\)। উপরের সমীকরণে \(F\) এবং \(ds\) এর মান বসিয়ে পাই,

\(dK = \frac{d}{dt}(mv) vdt = v d(mv)\)

যেহেতু কণাটির ভর \(m\) তার বেগের উপর নির্ভরশীল, তাই \(d(mv)\) কে গুণফলের অন্তরীকরণ সূত্র ব্যবহার করে লেখা যায়:

\(d(mv) = m dv + v dm\)

সুতরাং,

\(dK = v(m dv + v dm) = mv dv + v^2 dm \quad \cdots (১)\)

আইনস্টাইনের ভর-শক্তি সমীকরণ অনুসারে, শক্তি \(E = mc^2\), যেখানে \(c\) আলোর বেগ। সুতরাং, গতিশক্তি \(K = E - E_0 = mc^2 - m_0c^2\)।

গতিশক্তির পরিবর্তন \(dK = d(mc^2) = c^2 dm\)।

এখন, (১) নং সমীকরণে \(dK = c^2 dm\) বসিয়ে পাই,

\(c^2 dm = mv dv + v^2 dm\)

\(c^2 dm - v^2 dm = mv dv\)

\((c^2 - v^2) dm = mv dv\)

এখান থেকে \(dm\) এর জন্য সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করি:

\(\frac{dm}{m} = \frac{v dv}{c^2 - v^2}\)

এখন উভয় পক্ষকে সমাকলন করি। কণাটি স্থির অবস্থা থেকে গতিশীল হলে, এর ভর \(m_0\) থেকে \(m\) পর্যন্ত পরিবর্তিত হয় এবং বেগ \(0\) থেকে \(v\) পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়।

\(\int_{m_0}^{m} \frac{dm}{m} = \int_{0}^{v} \frac{v dv}{c^2 - v^2}\)

বাম দিকের সমাকলন:

\([\ln m]_{m_0}^{m} = \ln m - \ln m_0 = \ln \left(\frac{m}{m_0}\right)\)

ডান দিকের সমাকলনের জন্য প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করি। ধরি, \(u = c^2 - v^2\)। তাহলে \(du = -2v dv\), বা \(v dv = -\frac{1}{2} du\)।

যখন \(v=0\), \(u=c^2\)। যখন \(v=v\), \(u=c^2 - v^2\)।

সুতরাং, ডান দিকের সমাকলনটি হবে:

\(\int_{c^2}^{c^2 - v^2} \frac{-\frac{1}{2} du}{u} = -\frac{1}{2} \int_{c^2}^{c^2 - v^2} \frac{1}{u} du\)

\(= -\frac{1}{2} [\ln u]_{c^2}^{c^2 - v^2}\)

\(= -\frac{1}{2} (\ln(c^2 - v^2) - \ln(c^2))\)

\(= -\frac{1}{2} \ln \left(\frac{c^2 - v^2}{c^2}\right)\)

\(= \frac{1}{2} \ln \left(\frac{c^2}{c^2 - v^2}\right)\)

\(= \ln \left(\left(\frac{c^2}{c^2 - v^2}\right)^{1/2}\right)\)

\(= \ln \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right)\)

এখন উভয় পক্ষের সমাকলনের ফলাফল তুলনা করি:

\(\ln \left(\frac{m}{m_0}\right) = \ln \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right)\)

উভয় পক্ষ থেকে \(\ln\) ফাংশন বাদ দিয়ে পাই:

\(\frac{m}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)

সুতরাং,

\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)

এটাই হলো ভরের আপেক্ষিকতার সূত্র, যেখানে \(m\) আপেক্ষিক ভর, \(m_0\) স্থির ভর, \(v\) বস্তুর বেগ এবং \(c\) শূন্যস্থানে আলোর বেগ।