প্রদত্ত রাশিটি হলো:

এটি একটি দ্বিঘাত সমমাত্রিক রাশি (homogeneous quadratic expression)। এই ধরনের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য মধ্যপদকে (middle term) এমন দুটি পদে বিভক্ত করতে হয় যাদের গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সমান এবং যোগফল মধ্যপদের সহগের সমান।

১. এখানে,

    
• প্রথম পদের সহগ (coefficient) হলো \((a-1)\)।
    
• শেষ পদের সহগ হলো \((a+1)\)।
    
• মধ্যপদের সহগ হলো \(a^2\)।

২. প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফল নির্ণয় করি:

৩. এখন, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল \((a^2 - 1)\) এবং যোগফল \(a^2\)।

এই সংখ্যা দুটি হলো \((a^2 - 1)\) এবং \(1\)।

কারণ, \((a^2 - 1) \times 1 = a^2 - 1\) এবং \((a^2 - 1) + 1 = a^2\)।

৪. মধ্যপদ \(a^2xy\) কে \((a^2-1)xy + xy\) আকারে বিভক্ত করা যাক:

৫. এখন, পদগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় ভাগ করে সাধারণ উৎপাদক (common factor) নেওয়া যাক:

প্রথম দুটি পদ থেকে \(x\) কমন নেওয়া যায়:

শেষ দুটি পদ থেকে \(y\) কমন নেওয়া যায়:

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

৬. আমরা জানি, \((a^2-1)\) কে \((a-1)(a+1)\) আকারে লেখা যায়। এই মানটি প্রতিস্থাপন করি:

৭. প্রথম বন্ধনীর ভেতর থেকে \((a-1)\) কমন নেওয়া যাক:

৮. এখন, \(\{x + (a+1)y\}\) উভয় পদে একটি সাধারণ উৎপাদক। এই সাধারণ উৎপাদকটি কমন নেওয়া যাক:

৯. সুতরাং, প্রদত্ত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণকৃত রূপটি হলো:

ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে করা যাক।
ধরি, $f\left(x\right)=54x^4+27x^{3}a-16x-8a$
x এর এমন মান নিব যেন f(x)=0 হয়।
$\therefore f\left(-\frac{a}{2}\right)=54{\left(-\frac{a}{2}\right)}^4+27{\left(-\frac{a}{2}\right)}^{3}a-16\left(-\frac{a}{2}\right)-8a=0$
এখানে, $x=-\frac{a}{2}$হলে মান ০ হয়।

তাহলে বলা যায়,  (2x+a), f(x) এর একটি উৎপাদক।
 

আবার, ধরি,$f\left(x\right)=27x^3-8$
আবারও, x এর এমন মান নিব যেন f(x)=0 হয়।
$\therefore f\left(\frac{2}{3}\right)=27{\left(\frac{2}{3}\right)}^3-8=0$

$\therefore \left(3x-2\right),f\left(x\right)$এর একটি উৎপাদক।

$Answer: \left(2x+a\right)\left(3x-2\right)\left(9x^2+6x+4\right)$

প্রদত্ত রাশি:

\(a^3 + 6a^2b + 11ab^2 + 6b^3\)

ধরি, \(P(a) = a^3 + 6a^2b + 11ab^2 + 6b^3\)

এখানে, যদি \(a = -b\) বসানো হয়, তাহলে

\(P(-b) = (-b)^3 + 6(-b)^2b + 11(-b)b^2 + 6b^3\)

\( = -b^3 + 6b^2 \cdot b - 11bb^2 + 6b^3\)

\( = -b^3 + 6b^3 - 11b^3 + 6b^3\)

\( = (-1 + 6 - 11 + 6)b^3\)

\( = (12 - 12)b^3\)

\( = 0 \cdot b^3 = 0\)

যেহেতু \(P(-b) = 0\), উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) অনুসারে \((a - (-b))\) অর্থাৎ \((a+b)\) প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

এখন, প্রদত্ত রাশিকে \((a+b)\) দ্বারা ভাগ করে অথবা পদগুলোকে সাজিয়ে পাই:

\(a^3 + 6a^2b + 11ab^2 + 6b^3\)

\( = a^3 + a^2b + 5a^2b + 5ab^2 + 6ab^2 + 6b^3\)

\( = a^2(a+b) + 5ab(a+b) + 6b^2(a+b)\)

এখন, \((a+b)\) কমন নিয়ে পাই:

\( = (a+b)(a^2 + 5ab + 6b^2)\)

দ্বিতীয় উৎপাদকটিকে মধ্যপদ বিশ্লেষণ (middle term factorization) করে পাই:

\(a^2 + 5ab + 6b^2\)

\( = a^2 + 2ab + 3ab + 6b^2\)

\( = a(a+2b) + 3b(a+2b)\)

\( = (a+2b)(a+3b)\)

সুতরাং, সম্পূর্ণ উৎপাদক বিশ্লেষণ হলো:

\((a+b)(a+2b)(a+3b)\)