ধরি, প্রথম শ্রেণির \(n\) সংখ্যক পর্যবেক্ষণসমূহ হলো \(x_1, x_2, \dots, x_n\)।

এবং দ্বিতীয় শ্রেণির \(n\) সংখ্যক পর্যবেক্ষণসমূহ হলো \(y_1, y_2, \dots, y_n\)।

প্রথম শ্রেণির জ্যামিতিক গড় \(G_1\) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:

\(G_1 = (\prod_{i=1}^n x_i)^{\frac{1}{n}}\)

উভয় পাশে \(n\) ঘাত (power) নিয়ে পাই:

\(G_1^n = \prod_{i=1}^n x_i\) (সমীকরণ ১)

দ্বিতীয় শ্রেণির জ্যামিতিক গড় \(G_2\) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:

\(G_2 = (\prod_{j=1}^n y_j)^{\frac{1}{n}}\)

উভয় পাশে \(n\) ঘাত নিয়ে পাই:

\(G_2^n = \prod_{j=1}^n y_j\) (সমীকরণ ২)

প্রথম ও দ্বিতীয় শ্রেণির মোট \(n+n=2n\) সংখ্যক পর্যবেক্ষণের সম্মিলিত জ্যামিতিক গড় \(G\) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:

\(G = (\prod_{i=1}^n x_i \cdot \prod_{j=1}^n y_j)^{\frac{1}{2n}}\)

সমীকরণ ১ ও সমীকরণ ২ থেকে মান বসিয়ে পাই:

\(G = (G_1^n \cdot G_2^n)^{\frac{1}{2n}}\)

\(G = ((G_1 G_2)^n)^{\frac{1}{2n}}\)

\(G = (G_1 G_2)^{\frac{n}{2n}}\)

\(G = (G_1 G_2)^{\frac{1}{2}}\)

\(G = \sqrt{G_1 G_2}\)

এটি সম্মিলিত জ্যামিতিক গড়ের প্রচলিত সূত্র যখন উভয় শ্রেণির পর্যবেক্ষণের সংখ্যা সমান (\(n_1 = n_2 = n\)) হয়।

এখন, প্রশ্নোক্ত সম্পর্কটি ($G=\sqrt{G_1}{G}_2$) সত্য হবে যদি আমাদের প্রাপ্ত ফলাফল এই সম্পর্কের সমান হয়:

\(\sqrt{G_1 G_2} = \sqrt{G_1} G_2\)

উভয় পাশে বর্গ করে পাই:

\((\sqrt{G_1 G_2})^2 = (\sqrt{G_1} G_2)^2\)

\(G_1 G_2 = G_1 G_2^2\)

উভয় পক্ষকে \(G_1 G_2\) দ্বারা ভাগ করে (যদি \(G_1 \neq 0\) এবং \(G_2 \neq 0\) হয়):

\(\frac{G_1 G_2}{G_1 G_2} = \frac{G_1 G_2^2}{G_1 G_2}\)

\(1 = G_2\)

সুতরাং, প্রচলিত প্রতীক এবং সংজ্ঞা অনুযায়ী, প্রশ্নোক্ত সম্পর্ক $G=\sqrt{G_1}{G}_2$ কেবল তখনই সত্য হবে যখন দ্বিতীয় শ্রেণির জ্যামিতিক গড় \(G_2 = 1\) হবে। অন্যথায়, সাধারণ ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য নয়।