Created: 2 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

PSC NSDA – Office Sohayok - 2022 গণিত 2022 সূচক (Exponents /Indices) কেন্দ্রীয় প্রবণতা (Central Tendency) উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization) ছেদ সেট (Intersection of Sets) নল ও চৌবাচ্চা (Pipes and cistern) পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রয়োগ (Application of Pythagoras Theorem)

194

(a)

${\{২ - ৪ {(২ - ৪)}^{- ১}\}}^{- ১}$ = কত?

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ${\{২ - ৪ {(২ - ৪)}^{- ১}\}}^{- ১} = {\{২ - ৪ {(- ২)}^{- ১}\}}^{- ১}$

$= {\{২ - ৪ \times \frac{১}{- ২}\}}^{- ১} = {(৪)}^{- ১} = \frac{১}{৪}$

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(b)

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাণ তিনটি কি কি?

উত্তরঃ

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাণগুলো হলোঃ গড় (Mean), মধ্যক (Median) এবং প্রচুরক (Mode)

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(c)

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: $4 x^{2} - 4 x - 3$

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, $4 x^{2} - 4 x - 3$

$= 4 x^{2} - 6 x + 2 x - 3 = 2 x (2 x - 3) + 1 (2 x - 3) = (2 x - 3) (2 x + 1)$

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(d)

$A = \{1, 3, 5\}$ এবং $B = \{2, 4, 6\}$ হলে $A \cap B$ = কত?

উত্তরঃ

এখানে, $A \cap B = \{1, 3, 5\} \cap \{2, 4, 6\} = \{\} ∴ A \cap B = \{\}$

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(e)

একটি নল ১০ মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে। অপর একটি নল প্রতি মিনিটে ১২ লিটার পানি বের করা দিতে পারে। দুটি নল একসাথে খুলে দিলে ৯০ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

উত্তরঃ

ধরি, চৌবাচ্চায় এক্স x মিটার পানি ধরে।

১ম নল দ্বারা,

১০ মিনিটে পূর্ণ হয় = x লিটার

∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \frac{x}{১ ০}$ লিটার

এখন, উভয় নল চললে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \frac{x}{১ ০} - ১ ২ = \frac{x - ১ ২ ০}{১ ০}$ লিটার

∴ উভয় নল চললে ৯০ মিনিটে পূর্ণ হয় $= \frac{x - ১ ২ ০}{১ ০} \times ৯ ০ = ৯ (x - ১ ২ ০)$ লিটার

প্রশ্নমতে, x = ৯(x – ১২০)

$\Rightarrow x = ৯ x - ১ ০ ৮ ০ \Rightarrow ৮ x = ১ ০ ৮ ০ ∴ x = \frac{১ ০ ৮ ০}{৮} = ১ ৩ ৫$

অর্থাৎ চৌবাচ্চায় পানি ধরে ১৩৫ লিটার।

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(f)

পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখুন ।

উত্তরঃ

পিথাগোরাসের ত্রিভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্যটি হলো ‘কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল ত্রিভুজটির অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রফলদ্বয়ের সমষ্টির সমান'। অর্থাৎঃ

সূত্রটি হলোঃ (অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২

Najjar Hossain Raju

2 years ago

194

MCQ: 207 CQ: 45

Practice

নল ও চৌবাচ্চা (Pipes and cistern)

নল ও চৌবাচ্চা (Pipes and Cistern)

নল ও চৌবাচ্চা অধ্যায়ে পানির ট্যাংক (চৌবাচ্চা) ভরাট করা বা খালি করার সময় নলগুলোর কাজের হার নিয়ে আলোচনা করা হয়। এটি মূলত “সময় ও কাজ” অধ্যায়ের একটি বিশেষ প্রয়োগ।

১: দুজন কাজ করলে বা দুটি নল থাকলে

(১-ক) দু জন ব্যক্তি অথবা দুটি নলের একত্রে কাজ:
- শর্টকাট: Single + Single = Together = $\frac{A \times B}{A + B}$ days.
(১-খ) দুজনের একসাথে কাজ একজনের কাজ:
- একটি নল দ্বারা পানি ঢুকলে এবং আরেকটি দিয়ে বের হলে অথবা দুজনের কাজ থেকে একজনের কাজ বিয়োগ করলে অন্যজনকে কতদিন লাগবে তা বের হবে।
- এ ধরনের অংক খুব দ্রুত করতে চাইলে এই সূত্রটি প্রয়োগ করুন: শর্টকাট: Together - Single = Single = $\frac{A \times B}{B i g - s m a l l}$
- সূত্রের ব্যাখ্যা: উপরে দুজনের একাকী কাজ করার দিন গুণ করতে হবে এবং নিচে বড় সংখ্যাটি থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ করুন।

২: দু'য়ের অধিক নল থাকলে বা দু' জনের বেশী কাজ করলে

দুজনের থেকে অধিক মানুষ কাজ করলে অথবা দুটি নলের থেকে বেশি নল থাকলে উপরের দুটি নিয়মের মতই সমাধান করতে হয়। তবে এক্ষেত্রে শর্টকার্ট সুত্রের থেকে বুঝে বুঝে কম লিখে সমাধান করলেই সময় কম লাগবে।
- Shortcut: তিনজন কাজ করলে = $\frac{A B C}{A B + B C + C A}$

৩ঃ পূর্ণ অংশ না থেকে ভগ্নাংশ দেয়া থাকলে

যে ভগ্নাংশেরই কাজের সময় বের করতে বলা হোক না কেন, প্রথমে ১ অংশ কাজ করতে কত সময় লাগবে তা বের করার পর বাকী অংশের হিসেব করতে হবে। মনে রাখবেন, ১ অংশ কাজ করার সময় $\times$ ভগ্নাংশ = ঐ ভগ্নাংশ কাজ করার সময়।

Ratio Table
ক একা করতে পারে	খ একা করতে পারে	ক + খ একত্রে করতে পারে	অনুপাত হিসেবে
১০ দিনে	১৫ দিনে	৬ দিনে	১০ : ১৫ = ৬
২০ দিনে	৩০ দিনে	১২ দিনে	২০ : ৩০ = ১২
৩০ দিনে	৪৫ দিনে	১৮ দিনে	৩০ : ৪৫ = ১৮
এভাবে আনুপাতিক হারে বাড়তে থাকলে একত্রে করার দিনও বাড়তে থাকবে

অধিকাংশ প্রশ্নগুলো এই দুটি টেবিলের সংখ্যাগুলোই বেশি ব্যবহৃত হয়। তাই মনে রাখতে পারলে সহজ হবে।
ক একা করতে পারে	খ একা করতে পারে	ক + খ একত্রে করতে পারে	অনুপাত হিসেবে
৩ দিনে	৬ দিনে	২ দিনে	৩ : ৬ = ২
৬ দিনে	১২ দিনে	৪ দিনে	৬ : ১২ = ১২
১২ দিনে	২৪ দিনে	৮ দিনে	১২ : ২৪ = ৮
এভাবে আনুপাতিক হারে বাড়তে থাকলে একত্রে করার দিনও বাড়তে থাকবে

মৌলিক ধারণা

যদি একটি নল চৌবাচ্চা ভরাট করে, তবে সেটিকে Inlet pipe বলা হয়। আর যদি একটি নল চৌবাচ্চা খালি করে, তবে সেটিকে Outlet pipe বলা হয়।

ভরাট করার নলের কাজকে ধনাত্মক (+) এবং খালি করার নলের কাজকে ঋণাত্মক (−) ধরা হয়।

মৌলিক সূত্র

নল ও চৌবাচ্চার সমস্যায় এক দিনে মোট কাজ নির্ণয় করা হয়:

মোটকাজ = ভরাটেরহার - খালিকরারহার

একটি নল যদি x দিনে ভরে

তাহলে ১ দিনে সেই নলের কাজ হবে:

$\frac{1}{x}$

ভরাট ও খালি নল একসাথে কাজ করলে

যদি একটি নল x দিনে ভরে এবং আরেকটি নল y দিনে খালি করে, তবে মোট কাজের হার হবে:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$

মোট সময় নির্ণয়

মোট সময় = ১ ÷ মোট কাজের হার

সময় $= \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ভরাট নল → ধনাত্মক কাজ (+)
খালি নল → ঋণাত্মক কাজ (−)
যত বেশি নল খালি করে, তত সময় বেশি লাগে
LCM ব্যবহার করলে হিসাব সহজ হয়

উদাহরণ

একটি নল একটি চৌবাচ্চা ১০ ঘণ্টায় ভরে। আরেকটি নল ১৫ ঘণ্টায় খালি করে। তাহলে একসাথে কাজ করলে চৌবাচ্চা ভরবে ধীরে বা কখনো খালি থাকতে পারে, যা কাজের হারের উপর নির্ভর করে।

মনে রাখার উপায়

যে নল পানি দেয় সেটি +, যে নল পানি বের করে সেটি −। মোট কাজ = (ভরাট − খালি)।

Related Question

View All

(ক)

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন:

(a - 1) x^{2} + a^{2} x y + (a + 1) y

BCS 43rd BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

492

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

\[ (a-1)x^2 + a^2xy + (a+1)y^2 \]

এটি একটি দ্বিঘাত সমমাত্রিক রাশি (homogeneous quadratic expression)। এই ধরনের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য মধ্যপদকে (middle term) এমন দুটি পদে বিভক্ত করতে হয় যাদের গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সমান এবং যোগফল মধ্যপদের সহগের সমান।

১. এখানে,

প্রথম পদের সহগ (coefficient) হলো $(a-1)$।
শেষ পদের সহগ হলো $(a+1)$।
মধ্যপদের সহগ হলো $a^2$।

২. প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফল নির্ণয় করি:

\[ (a-1)(a+1) = a^2 - 1 \]

৩. এখন, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল $(a^2 - 1)$ এবং যোগফল $a^2$।

এই সংখ্যা দুটি হলো $(a^2 - 1)$ এবং $1$।

কারণ, $(a^2 - 1) \times 1 = a^2 - 1$ এবং $(a^2 - 1) + 1 = a^2$।

৪. মধ্যপদ $a^2xy$ কে $(a^2-1)xy + xy$ আকারে বিভক্ত করা যাক:

\[ (a-1)x^2 + (a^2-1)xy + xy + (a+1)y^2 \]

৫. এখন, পদগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় ভাগ করে সাধারণ উৎপাদক (common factor) নেওয়া যাক:

প্রথম দুটি পদ থেকে $x$ কমন নেওয়া যায়:

\[ x \{(a-1)x + (a^2-1)y\} \]

শেষ দুটি পদ থেকে $y$ কমন নেওয়া যায়:

\[ y \{x + (a+1)y\} \]

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

\[ x \{(a-1)x + (a^2-1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]

৬. আমরা জানি, $(a^2-1)$ কে $(a-1)(a+1)$ আকারে লেখা যায়। এই মানটি প্রতিস্থাপন করি:

\[ x \{(a-1)x + (a-1)(a+1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]

৭. প্রথম বন্ধনীর ভেতর থেকে $(a-1)$ কমন নেওয়া যাক:

\[ x (a-1) \{x + (a+1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]

৮. এখন, $\{x + (a+1)y\}$ উভয় পদে একটি সাধারণ উৎপাদক। এই সাধারণ উৎপাদকটি কমন নেওয়া যাক:

\[ \{x + (a+1)y\} \{x(a-1) + y\} \]

৯. সুতরাং, প্রদত্ত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণকৃত রূপটি হলো:

\[ \{x + (a+1)y\} \{(a-1)x + y\} \]

Satt AI

2 weeks ago

492

(খ)

সমাধান করুন:

18 y^{x} - y^{2 x} = 81, 3^{x} = y^{2}

BCS 43rd BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

641

উত্তরঃ

দেওয়া আছে:

\[18y^x - y^{2x} = 81 \quad \ldots(1)\]

\[3^x = y^2 \quad \ldots(2)\]

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই,

ধরি, $A = y^x$।

তাহলে, $18A - A^2 = 81$

$A^2 - 18A + 81 = 0$

$(A - 9)^2 = 0$

$A = 9$

$A$ এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

\[y^x = 9 \quad \ldots(3)\]

এখন, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

$3^x = y^2$

সমীকরণ (3) কে $y$ এর জন্য সমাধান করি:

$y = 9^{\frac{1}{x}}$

$y$ এর এই মানটি সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,

$3^x = (9^{\frac{1}{x}})^2$

$3^x = 9^{\frac{2}{x}}$

$3^x = (3^2)^{\frac{2}{x}}$

$3^x = 3^{\frac{4}{x}}$

উভয় পাশের ভিত্তি একই হওয়ায়, ঘাতগুলো সমান হবে:

$x = \frac{4}{x}$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

এখন $x$ এর দুটি মানের জন্য $y$ এর মান নির্ণয় করি।

ক্ষেত্রে 1: যখন $x = 2$

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

$y^2 = 9$

$y = \pm 3$

অতএব, সমাধানগুলো হলো $(2, 3)$ এবং $(2, -3)$

ক্ষেত্রে 2: যখন $x = -2$

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

$y^{-2} = 9$

$\frac{1}{y^2} = 9$

$y^2 = \frac{1}{9}$

$y = \pm \frac{1}{3}$

অতএব, সমাধানগুলো হলো $(-2, \frac{1}{3})$ এবং $(-2, -\frac{1}{3})$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধানসমূহ হলো: $(2, 3), (2, -3), (-2, \frac{1}{3}), (-2, -\frac{1}{3})$

Satt AI

1 week ago

641

(ক)

যদি

a^{\frac{1}{x}} = b^{\frac{1}{y}} = c^{\frac{1}{z}}

এবং ‍abc=1 হয়, তবে প্রমাণ করুন যে, x+y+z=0

BCS 41st BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

687

Add Explanation

687

(ক)

{(\frac{p}{q})}^{c} \times {(\frac{q}{r})}^{a} \times {(\frac{r}{p})}^{b} =

কত?

BCS 40th BCS Written গণিত সূচক (Exponents /Indices)

338

Add Explanation

338

(ক)

54 x^{4} + 27 x^{3} a - 16 x - 8 a

BCS 38th BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

1.2k

উত্তরঃ

ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে করা যাক।
ধরি, $f (x) = 54 x^{4} + 27 x^{3} a - 16 x - 8 a$
x এর এমন মান নিব যেন f(x)=0 হয়।
$∴ f (- \frac{a}{2}) = 54 {(- \frac{a}{2})}^{4} + 27 {(- \frac{a}{2})}^{3} a - 16 (- \frac{a}{2}) - 8 a = 0$
এখানে, $x = - \frac{a}{2}$ হলে মান ০ হয়।

তাহলে বলা যায়, (2x+a), f(x) এর একটি উৎপাদক।

আবার, ধরি, $f (x) = 27 x^{3} - 8$
আবারও, x এর এমন মান নিব যেন f(x)=0 হয়।
$∴ f (\frac{2}{3}) = 27 {(\frac{2}{3})}^{3} - 8 = 0$

$∴ (3 x - 2), f (x)$ এর একটি উৎপাদক।

$A n s w e r : (2 x + a) (3 x - 2) (9 x^{2} + 6 x + 4)$

Rupkatha

1 year ago

1.2k

(খ)

12 x^{2} + 35 x + 18

BCS 38th BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

375

Add Explanation

375

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Ratio Table

Related Question

Related Question

Promotion